о которых речь шла выше. Дальнейшее деление совершается по обычным правилам при условии, что все сдвиги происходят сразу на четыре разряда.

,; Задачи

1. Найти сумму и произведение чисел <a;)io = 56,4 и <j;),o=-1,25 в системе счисления с основанием 32, использовав для представления чисел полулогарифмическую форму, в которой для записи порядка отведено два разряда, а для записи мантисс - 20 разрядов,

2. <л:)2,4 = 42.0,1100111000, <j/>2,4 = 44-0.I111000101. Найти их частное в четверичной системе.

. Глава четвертая

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ, НЕ ЯВЛЯЮЩИМСЯ НАТУРАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ

§ 4.1. Системы счисления с отрицательным целым основанием

В этом и следующем параграфах мы рассмотрим проблему использования в вычислительных машинах листем счисления естественного типа, основание которых не является " натуральным числом. Обладая рядом специфических черт, такие системы в некоторых случаях могут оказаться более эффективными, нежели канонические системы счисления.

Будем предполагать, что основание системы счис« ления есть целое отрицательное число /?(<0). Потребуем, чтобы для рассматриваемых систем выполнялось соотношение, аналогичное соотношению (1.1) для систем с натуральным основанием,

= S . (4.1)

Выполнение требований однозначности, конечности и эффективности представления чисел в рассматриваемой системе счисления определяется следующими теоремами, приводимыми нами без доказательств.

Teopeirta 4.1. В системе счисления с основанием R< - 1 и цифрами {О, -1, -2,..., - R -1} можно представить любое действительное число в виде разложения (4.1).

Теорема 4.2. Если некоторое число представляется в системе счисления с отрицательным целочисленным основанием конечным образом, то ею представление в виде (4.1) является единственным.

Теорема 4.3. Неединственным образом в данной системе с отрицательным основанием R представ ляются только числа вида

где 9= ± 1, а г и k -любые целые числа. Эти числа имеют два различных бесконечных представления вида (4.1).

Доказательство теорем предоставляется провести читателям.

Опишем правила перевода чисел в систему счисле-.ния с отрицательным основанием /?. Общий алгоритм перевода целых чисел посредством последовательного деления на основание системы счисления и перевода дробных чисел посредством последовательного умножения на основание системы, построенный нами для канонических систем счисления, пригоден после некоторого изменения и для перевода чисел в систему счисления с отрицательным основанием. Это изменение связано с тем, что при использовании последовательного деления все- остатки должны быть положительными числами, меньшими R. При умножении аналогичное требование предъявляется к целым частям получаемых произведений. Для выполнения этого требования в случае перевода целых чисел при наличии отрицательного делимого и отрицательного делителя к частному, получающемуся на некотором шаге деления, прибавляется единица. В случае перевода дробных чисел дробная часть, используемая на каждом шаге перевода, должна удовлетворять условию*

--Lei <{4<-\- (4.3)

* Здесь {х) означает дробную часть числа х.