Из этих рассуждений вытекают следующие правила пере.вода целого числа из записи в системе счисления с основанием 5 в систему счисления с основанием R.

1. Разделить {x)g на R до получения остатка.. Остаток запомнить.

2. Проверить, не равно ли частное нулю. Если не равно, то принять его за новое число и вернуться к пункту 1.

3. Если частное равно нулю, то выписать все полученные остатки от деления в порядке, обратном порядку их получения. Полученная запись есть {x)j.

Пример 1.1. Перевести число ()io - 2574 в шестеричную систему.

2574 I 6

О ~426 71 I 6

* 3 ~бб 11 1 б

~5 1 Li. .

(X6> = 15 530.

Для проверки правильности результата воспользуемся соотношением (1.1):

1-6 + 5-6 + 5-6 + 3-61 + 0-б = 2574.

Пример 1.2. Перевести число (:)io = 421 в систему счисления с основанием 15. - . .

В пятнадцатиричной системе кроме десяти обыч ных цифр необходимы еще цифры с количественными эквивалентами, равными 10, П, 12, 13 и 14. Обозначим эти цифры как а, р, 7, 8, е.

421 I 15 -

• . • i20 ~2Ги5

15 1" \15 13 О

В рассмотренном алгоритме перевода записи целого числа из системы счисления с основанием 5 в систему счисления с основанием R требуется уметь производить деление в системе с основанием 5. Можно предложить другой, алгоритм перевода, при котором отпадает необходимость проведения операций попра-

вилам исходной системы и все операции проводятся по правилам системы с основанием R. Пусть некоторое число

уже переведено в систему счисления с основанием R

= m)LR + Kbj)L-iR"" + - + m]i-R+ Шо.

Требуется перевести в эту систему запись числа {x)s-[iaj)l-Sf + + ... + [(«y)li-S4

+ 1(«у)]о-5 + [К)]о.

Для осуществления этого проделаем следующие операции в системе счисления с основанием R

: m)]-R+ [(y)L-i-/r-4...+ [ibj)],-R%bj)U.R+[{7i,)], m)L-R"+ m)L-i-R"~+-+ [ibA-R+[ibj)o\)-{s~R) mj)L-R+ KbJ)L-гR"-:+..•+ Kbj)lR+Kbj)U-s+[{aj)].

, To, что стоит в скобках, есть {x)g, и, следовательно, полученное нами выражение есть {х).

В приведенном, алгоритме перевода отсутствует . операция деления, которая весьма плохо реализуется в вычислительных машинах.

Пример 1.3. Перевести (a:)io=1975 в двоичную систему счисления с цифрами О, 1.

Перевод начинаем со старшей цифры исходного числа. Так как она равна единице, то имеем (1)2 = = (l}io. Применяя наш алгоритм, получим

1 (1>2 = (1>.0

10 умножение на 2 +1001 <1001)2 = (9>,о

- 1000 умножение 1 На о

iSSllO

11 \ll/2 = WlO

10011000 умножение 100110 на 8

11000001 умножение на 2 110000010 (101>2 = (5>,о

101 умножение 110000010 на 8

11000001000 11110001111

Окончательный ответ: (л:)2 = 1П10001111. Предложенный способ перевода пригоден, если

Рассмотрим теперь проблему перевода дробных чисел. В отличие от перевода целых чисел при переводе дробей нельзя говорить о точном переводе, так как если даже 5-ичная дробь представляется в виде конечного представления, то нет никакой уверенности, что /?-ичное ее представление будет конечным. В связи с этим задачу перевода дробей ставят, как задачу аппроксимации исходной 5-ичной дроби /?-ичной дробью с заданной точностью е. Величину е удобно задавать в виде отрицательной степени R.

Пусть x есть правильная 5-ичная дробь и

Т(). = + [{aj)U-S- 4- ... + [(«,)] ,-S-

Если ее требуется перевести в /?-ичную дробь с точностью то

(xh=m)u-R- + m)u-R-+- + [{bj)Un-R-"..

При этом

Kaj)U-S- + [iaj)U-S- + ... + [(а,)] ,.5-* - •

mu-R mu-R-+-+mum-R-""-

Это равенство осуществляется с заданной точностью перевода. Умножим (л:) [на R по правилам - умножения чисел в системе счисления с основанием S-Тогда

[(aj)WS-.R + [{a,)U-S--R + ... + -

+ m\-2R~\ - + [(;)]-.•/?-"+.

Целая часть полученного произведения совпадает

с щи.

Пусть x -есть дробная часть числа xR. Тогда, если

=[()]-2•/?- + mUR- +... + км-.-/?-"