щая схема умножения, показанная на рис. 2.1, остается прежней. Единственное отличие состоит в том, что сумматор на этой схеме является сумматором, работающим по правилам сложения в системе счисления с основанием - 2.

Пример 4.15. Найти произведение чисел {x) 2=0,1101 и (.V>-2= 1,0010.

10010 - .

0000 1101 + 0000 0000 1101

00101010

Окончательный ответ (лу) 2 = 0,0010.

В связи с результатом, полученным в примере4.15, заметим, что в системе счисления с основанием -2 правила округления зависят от того, до какого (четного или нечетного) разряда производится округление. Если первый отбрасываемый разряд является нечетным, то при единице в этом разряде происходит отбрасывание излищних разрядов, а при нуле в первом отбрасываемом разряде происходит прибавление единицы в последний остающийся разряд. При отбрасывании первого четного разряда правила округления обычные.

Перейдем теперь к описанию процесса деления в системе счисления с основанием - 2. Логика выполнения деления в этой системе отлична от выполнения деления в обычных системах, так как операция вычитания делителя из остатков должна происходить по правилам минус двоичной системы, а разряды частного не одинаковы по своей структуре. Пусть необ-"ходимо разделить число х на число j;. Пусть

iV(j;) = max\у„-2-".....уг2.....у.2"\.

Через у обозначим делитель, сдвинутый на k разрядов;/=(-2).;/. , - Правила деления имеют следующий вид. 1. Для начала деления необходимо сдвинуть делитель так, чтобы выполнялось равенство Л(л) = Л/(>*).

. 2. Находится разность y+j = y-У, где у-остаток на /-м шаге деления и =

3. Если < ЛО*), то очередная цифра частного равна единице. Делитель сдвигается на г разрядов так, чтобы выполнялось равенство Niv- = - N(y~), а в разряды частного с номерами {k - 1),..., (k - r+l) записываются нули. Переход к пункту 2 при замене i на i -Ь 1.

4. Если N(Vii) = N{y), то в соответствующий разряд частного записывается единица. Возвращение к пункту 2 с заменой i на i + l-

б. Если N{V{+i) Niy), то очередная цифра частного, равна нулю. Делитель сдвигается на один разряд (к заменяется на k-l), возвращение к пункту 2.

Пример 4.16. Разделить число (x) 2 = 11001 на число (3/) 2=111. Начальный сдвиг делителя 11100 11001 111 11100

01101-

"ото

00111-"00111

сдвиг делителя на один разряд

сдвиг делителя на один разряд

111.

00000-

пример 4.17. Разделить число (а-) 2 = 10010 на число (.у) 2= 110. Начальный сдвиг делителя ГЮОО

10010 1110 11000 1 101 1

11010-11000

Ш01О- 00011

00"11-"00011

сдвиг делителя на один разряд

ПОИ.

Используя схему деления, можно построить алгоритм для выполнения операции извлечения квадратного корня в системе счисления с основанием -2. Однако этот алгоритм является довольно сложным, и мы его рассматривать не будем.

В. заключение этого параграфа заметим, что система счисления с основанием -2 была использована при построении вычислительной машины, спроектированной в Варшавском политехническом институте.

Задачи

1. Найти правила обнаружения переполнения разрядной сетки при работе машины в системе с основанием -2, если в этой ма-iiyiHe используется естественная форма представления чисел.

2. Сформулировать правила деления длд системы с основанием - 3 и разделить в этой системе число <х) з«=201 на число О) з-110.

3. Сформулировать правила округления для систем с Отрицательным основанием.

• § 4.2. Системы счисления с комплексным основанием

.IS-

Будем рассматривать множество цифр Л = {«1, «2» а,}, в которых количественные эквиваленты, сопоставляемые uj, могут принимать комплексные значения. Обобщим на этот случай соотношение вида (1.1)

2= f pa + bL (4.5)

- Й=+оо

Если некоторое комплексное число z представимо в виде (4.5), то это представление будем называть записью числа z в системе счисления с основанием р (в общем рассматриваемом случае р предполагается комплексным числом).

Определение 4.1. Система счисления "с комплексным основанием р называется арифметической системой, если выполнены следующие три условия: число - 1 представимо конечным образом в виде (4.5), сумма и произведение любых пар цифр из А представимы в виде (4.5) конечным образом.

Лемма 4.1. Если в арифметической системе. представимы числа z\ и Z2, то в этой системе представимы числа Zi-t-z, ZiZ, -Zj k - z.