Справедливость леммы вытекает из того, что для позиционных систем существуют алгоритмы сложения, умножения и инвертирования (см. главу первую).

Следствие 4.1. Всякая система счисления, в которой представимо любое комплексное число, является арифметической системой.

Заметим, что обратное, конечно, неверно, т. е. не во всякой арифметической системе представимы все комплексные числа.

В качестве примера арифметической системы рас-

- 1е и систе-

. смотрим систему с основанием р мой цифр Л = {0,1, е ,е \. Покажем, что

система является арифметической. Для этого составим таблицу попарного умножения и суммирования цифр системы и таблицу инвертирования цифр (умножения их,на -1). Для удобства записи обозначим соответственно цифры рассматриваемой системы как а, Ь, cud.

Таблица 4.5 Умножение

Таблица 4.7

Инвертирование

Как видно из этих таблиц, в рассматриваемой системе выполнены все условия определения (4.1). Следовательно, система, которую мы выбрали, является арифметической системой.

г, Теорема 4.4. Б системе с основанием р = - 2е

2 , 2 ,

- - tU

и цифрами А = {О, 1, е , е \ представимо любое комплексное число:"

Доказательство. Заметим, что (-2)*=4р*,

1 при k = 3m,

e при /fe = 3w + 1, e при ==3w+1. ,

В силу теоремы 4.1 любое действительное число х представимо в следующем виде

=SM-(-2)*.

где (а) = 0,1. Отсюда x = Yi\{aj)\-4-f или л: =

- . к k

Здесь

О- при М,= 0. 1 при ,[(a)]ft = 1 и /fe = 3m,

при [(a)]ft =1 и fe==3m + l; e при [(aj)U = l и k = Sm + 2.

Но любое комплексное число z может быть пред-

2 . 2 ,

ставлено как г = щ-\-ще + , где щ, щ

есть некоторые дейгствительные числа. Заменяя щ их выражениями, полученными выше, получаем утверж" дение теоремы.

Рассмотрим теперь класс систем счисления с комплексным основанием р, которые характеризуются тем, что все цифры в А являются действительными положительными числами. Такое множество цифр в дальнейшем будем обозначать как D.

£) = {0, 1, 2,..., -1}. Система счисления с таким множеством цифр носит назвагте нормальной системы счисления.

Лемма 4.2. Нормальная система счисления, в которой числа R и -R представляются как

, * /?= i;«*P* • • (4.6)

где aD и D, является арифметической системой кодирования..

Любое число из множества D

0<ау<Я~1. >

Следовательно, - а = aj2 - Rn а -\- aj2 = aj + R, если ajj-aj2>R. Учитывая (4.6) и (4.7), заключаем, что числа -ад и aji + aj2 являются р-ми целыми*. Далее имеем: cijyajaj По индукции заключаем,

что последняя сумма также является р-м целым числом. Таким образом, условия определения 4.1 выполняются. Следовательно, рассматриваемая система является арифметической.

Теорема 4.5. Любое комплексное число z представило в нормальной системе, если в этой системе числа R и -R имеют разложения вида (4.6) и (4.7).

• Т. е. в системе с основанием р представляются конечным образом.