Доказательство. Пусть z = A + Bi. Очевидно,

ZA - fi-r+ -Г"Р или , • . . ... , , .

о b , :

где Ai и Б, - действительные числа. Йз теоремы 4.1 -следует, что эти числа представимы в системе с основанием -Таким образом,

где %D. Все величины, входящие в последнюю формулу, представимы. в нормальной системе, которая является арифметической (см. лемму 4.2). Следова-

»тельно, согласно лемме 4.1, число z также представимо в данной системе, что и требовалось доказать.

Теорема 4.5 дает возможность свести доказательство теорем о том, что любое комплексное число "может быть представимо в данной системе кодирования, к доказательству того, что в этой системе су-

♦ществуют разложения вида (4.6) и (4.7) для чисел R й -Именно этим методом доказательства мы и будем пользоваться в дальнейшем.

" Теорема 4.6. Любое комплексное кисло z предста-ивмо в системе

(р = -1 £) = {0, П).

Доказательство. По условию R = 2. Легко показать, что

2. = рЗ + Л , . ~2 = p-bp3-f р«. Таким образом,

(/?)р = 1100;

- (~/?)р= 11100, что и требовалось доказать.

Приведем некоторые примеры двоичных кодов по основанию £= i - 1, иллюстрирующие то» что система •теоремы 4.6 является. арифметической:

<2,>р = 111(1111 (2, = 30;

- <22>р =0001110 - (22 = 1-1-0; -

••Это достаточное условие существования разложения.любого комплексного числа в данной системе кодирования,

. . •(«i-?2)p =0011010 (2i-?a=-~3 + 30.

. - -! <гз>р = 0010011 (2з = .4 + г); • "

(Z4)p =0110011 fe -Зг); • .]

. (2s + 24>„ = 0010100 (2з + 24 = -4.-г20;

"• " (2s>,= 0010010 = -5 + 0; .

<2e>p = 0010101 (2e = --3-20;

<2E-2e>p =0011011 (2E-f-Z6 = ~2 + 3i) и t. д. . • . • • ..

Теорема 4.7, Любое комплексное число г представимо в нормальной системе с р = + / К/?.

Доказательство. Нетрудно убедиться в том, что

/? = р +• •• -/? = Р . . .:-Г

или при /?==/?-- 1 . </?)р = 10/?00;

(-™/?)р-10о.,

что и требовалось доказать.

Система теоремы 4.7 обладает двумя важными свойствами.

Свойство 4.1. Действительные числа Л имеют в системе (р = ± 11 /?; D) разложения, у которых нечетные разряды а2„+, = 0 -целое число).

Согласно теореме 4.1 число А представимо в .системе (-/?, D), т. е.

или • :

Обозначив получаем

. . . ft . •

причем а = о при А==2т-Ь1-

13* . т

Свойство 4.2. Мнимые числа iA имеют в систем

ме (р = ± i V, D) разложения, у которых четные разряды а2 = 0.

Имеем iA= ±iVR (± A/VR). Но согласно свойству 4.1 действительное число

(±л/к)=1«;р"-

Следовательно,

Обозначив получаем

* - •

йричем а, = 0 при k=2m*.

Теорема 4.8. Любое комплексное тело представило в системе (р=?У-е; D), где

9 = ± arccos (- Pi/2 VR); p., < (/?; 2 V~RUn

ti pjцелое положительное.

Доказательство. Покажем, что

- (/?)f= «33210; причем Из =1; a2 = Pi-1; a.i=R-%

Для доказательства этих соотношений необходимо и достаточно доказать справедливость следующих четырех соотношений: .

R VRcos3(р +R(Pi- 1)cos29 + (R-Pi) cos<p = R; R VRsln З9 4- /? (p, -1) sin 2? -V{R - p,) sin ? = 0;

• Теорему 4.7 можно рассматривать как следствие свойств 4.1 и 4.2. i

Г96 . -