/?cos2<p +/p,cos<p = -/?} /?81п2ч> + J/p,sln<p = 0.

Используя условие cos 9=-Pi/2Kh известные тригонометрические формулы, выражающие синус и косинус кратных углов через степень cos 9, нетрудно убедиться в том, что последние четыре равенства являются тождественными. Теорема доказана.

Из доказательства следует

(/?)p = l(Pi"l)(/?"Pi)0;

Для иллюстрации "запишем коды некоторых характерных чисел в рассматриваемой системе: .

<-1)р =

(-Р)р = 1 <Р">Р =

Pi 1

Всвязи с тем что Pi может принимать несколько значений при постоянном R, существует несколько tnnoB позиционных кодов в системах рассматриваемого типа. В качестве примера в нижеследующей таблице приведенывозможные коды при различных R и Pi,

Таблица 4.8

Из систем теоремы 4.8 можно выделить системы с определенным аргументом основанш, т. е, с фиксированным I значением cos = - Pi/21 R,

2 3 Ъ

Полагая ф-±-и; ±-г-*, находим, чтолю-

, о 4 - 6 бое комплексное число представимо в следующих

системах: " - : . ,

2 .

а) (р = 1 3 щ ерди Pi = K" или. /?-=Р

т. е. при R = 4i 9; 16; 25;...

б) (р = ?е" D), если р, =К2/? или /?«-р?, т. е. при /? = 8, 18; 32; 50;...

, .в) (pVMeiD), если>,-/.или/?=--р?.

е. при /?:12;:27; 48; 75;... - -• -• Приведенщ>1е теоремы показывают, что существуют несколько типов позиционных кодов комплексных чисел по различным основаниям. Например, существуют б типов двоиЧных коДов комплексных чисел по основаниям -вида p = V 2е, где

? == ± ; ±4; -±arccos(™

Приведем для иллюстрации и сравнения коды чисел 2, --2 и -1 во всех существующих системах Двоичного кодирования, включая известные системы кодирования действительных, чисел,

- Таблица 4.9

Ниже мы более подробно рассмотрим системы кодирования, в которых аргумент «з? основания p==V принимает значения

2 3 4 ----6

(см. теоремы 4.6, 4.7, 4.8). Все .основания такого вида сведены в таблицу, где приведены также коды {R) и {-R) по каждому из этих оснований. Выделение таких систем кодирования связано с тем, что соответствующие коды обладают рядом свойств, упрощающих некоторые вычислительные операции.

Таблица 4Л0

Таким образом, мы показали, что существует целый ряд различных позиционных систем счисления с комплексным основанием, и выявили ряд достаточных и необходимых условий для существования подобных систем, В следующем параграфе мы рассмотрим производство арифметических операций в подобных системах, а затем дадим ряд методов перевода чисел в запись в нормальных системах счисления.

Задачи -

1. Проверить, будет ли арифметической нормальная система с основанием р = Л*.

2, Построить пример арифметической; системы, которая не