пример расширения: если <z>p = 1023, 103 и s = 3, то <z>J==i

= 1000002003, (ЮЮООООЗ.

Для расширения и сжатия кодов существует эквивалентная операция над соответствующими разложениями, которая заключается в том, что каждый разряд разложения умножается на основа-- ние разложения в некоторой степени р""*. В дальнейшем эту операцию будем называть «поразрядным умножением» и обозначать символом ® : Z 0 f.

Нетрудно убедиться, что при ш = s - 1 поразрядное умножение соответствует расширению кода в s раз, а при co= - -1

сжатию кода в s раз. Действительно, умножение k-то разряда разложения ctftp* на р"* дает

afepV*=W*"""

Таким образом, k-к разряд переходит при таком умножении на [(<*+ 1)*]-е место: ай = а(ю+ 1). В частности, при о-s -1

яб,= а, а при to = -- 1 а1 = ащ , что и требовалось показать.

А *.

Итак, (z)f = <z (X) f-"). <г>р = <z (g) p>p.

.Непосредственный перевод p-x целых чисел и р-х правильных дробей достаточно подробно описан в § 4.1. При переводе р-х смешанных дробей возникает необходимость в разбиении данного числа на два составляющих: р-е целое й р-е правильное дробные числа. В общем случае при комплексном основании такое разбиение является сложной задачей: необходимо из данного числа выделить число так, чтобы остаток оказался р-м целым. Задача значительно облегчается, если -заранее известно, что данноечисло является действительным. Поэтому перевод комплексных чисел желательно сводить к переводу действительных чисел, т. е. выполнять в следующем порядке;

а) выделение Reg и -jIm2 числа г в системе (р„ И,);

б) перевод (pi -* Рг) р-х смешанных дробных действительных

чисел Re Z и - Im z; /

в) совмещение чисел Rez и -Imz в системе (рг, Лг) по фор-

муле 2 = Re Z + /

Теперь рассмотрим перевод в системе (ра, Аг), где код числа неизвестен. Если известно разложение некоторого числа г по основанию р,

2 = 2ict"fe.p*. где aft ел,. . ;

то разложение этого же числа по другому основанию ра может быть найдено по формуле

Z = k•Skf2 (4.14)

где - .

==P,-Pj. (4.15)

Все величины в формуле (4.14) представимы разложениями по основанию Pj, поэтому вычисление по этой формуле может производиться в системе (ра, А) и дает искомое разложение

k -

ге Рйбл. • .

Величина в общем случае зависит от р, и pf • В связи с втим формула (4.14) требует большого объема вычисления и практически не применима. Однако задача значительно облегчается, всогда константы R обеих систем равны между собой и множества At и Иг совпадают. В этом случае величину можно определить как функцию только от pj и свести вычисление по формуле (4.14) к 1ебольшому числу элементарных операций.

Ниже доказывается последнее утверждение применительно к системам вида (р; D), где р = ± /? или р = Уд е. Доказательство разбито на две части:

1) определение величин Sh для всех возможных случаев;

2) использование полученных в 1) результатов для перевода ft -* Ра при постоянном R.

Будем искать величину Sft в виде

где с - целое число, зависящее от k. Пусть

Skfp.e". -.. , (4.16)

висящее от ft. .

. • . " f

, .. P.-/, (/?И* ... .

Из сравнения формул (4.15) и (4.16) находим [/2(/?)]+

. Согласно последней формуле для различных pi и ра при соблюдении условия «с -целое число» величины с, b и 7 принимают следующие значения.

Таблица 4.21

Пусть Й - наименьшее целое число, удовлетворяющее условию е" = 1. Любое k представимо в виде

k = am~J, • • (4.17)

где У=0; 1; 2;...; я -1; т -целое число. Отсюда следует, что

Ще-Щ (4.18)

где j определяется через k по формуле (4.17).

Возвращаясь к формуле (4.14) и учитывая (4.16) и (4.18), находим *

k

Согласно определению 4.2, число z представимо в виде

Последняя формула включает операцию поразрядного умножения на Р2 (см. определение 4.3) и поэтому преобразуется к виду

, .<=.-Л(р(х)5]а„ р--). (4,9