весомозначную, то правило вычисления весов для этой системы имеет вид

Другим примером может служить система счета пятками по два, о которой говорилось во введении. В этой системе веса разрядов задаются с помощью следующего соотношения

;2.-ы=2.lo •

Весьма важную роль для кода в остатках, который мы будем рассматривать в шестой главе, играет весомозначная система счисления, в которой веса разрядов определяются следующим образом. Пусть дан упорядоченный набор натуральных чисел {1. 9i, .••. "\- Тогда

(5.1)

Определение 5.1. Весомозначная система счисления, в которой веса разрядов определяются с помощью соотношения (5.1), называется полиадтеской системой счисления.

Рассмотрим еще один класс весомозначных систем. Пусть мы представляем числовую информацию в я разрядах. Разобъем эти разряды на группы г, г,..., г. Здесь г,, группа соседних разрядов. Обозначим через число разрядов, входящих в данную группу. Возьмем некоторое множество натуральных оснований 5i, ..., и сопоставим каждой выделенной группе однозначным образом одно из оснований. Далее будем считать, что влево от выделенных групп происходит периодическое повторение выделенных групп с однозначно сопоставленными им основаниями. Единица переноса из одной сопокупности групп в следующую совокупность групп возникает с весом р == . si ... 5. Таким образом, полученную весо-мозначну1р систему можно рассматривать как систему . с натуральным основанием Р, в которой цифры кодируются в 5f ичных цифрах.

Поясним сказанное на примере следующей системы. Пусть мы имеем представление, в котором периодически повторяются две группы разрядов: группа, состоящая,из трех двоичных разрядов, и группа, состоящая из двух троичных разрядов. В этом случае веса разрядов будут формироваться так, как это показано для первых десяти разрядов, в нижеследующей таблице:

Эту систему можно рассматривать как систему с основанием S- 24, у которой каждый разряд кодируется группой из пяти разрядов: трех двоичных и двух троичных.

Рассмотренная выше система счета пятками по два является системой подобного же типа. По существу она является десятичной системой, в которой каждый разряд представлен в виде совокупности двух разрядов: одного двоичного и одного пятиричного.

В общем случае система такого типа определяет веса разрядов для любого /, если задана матрица следующего вида

т-1 ••• Ч т-1 •• Si

(5.2)

В первой строке матрицы указано число разрядов, отводимых в данной группе для записи цифр по основанию, указанному в этом же столбце во второй строке матрицы. Зная такую матрицу для одной группы и считая, что для остальных групп она идентична, можно вычислить вес любого разряда в записи числа.

Определение 5.2. Весомозначныё системы счисления, задаваемые с помощью матриц вида (5.2), называются смешанными системами счисления.

Оценим рассод оборудования, необходимый для записи чисел из некоторого диапазона при использовании смешанной системы, задаваемой с помощью матрицы (5.2). Для этого построим аналог оценочной функции /(5), рассмотренной нами для естественных систем счисления в § 1.9. Как и в случае получения

Б-79.-15 • • 225-

функции F{S), будем строить оценочную функцию в предположении, что в каждом разряде представления числа используются 5,-позиционные элементы и их сложность прямо пропорциональна числу их устойчивых состояний.

Для смешанной системы оценочную функцию можно выразитв следуюш,им образом

0{W)== " - " = -. (53)

При условии, что log2(5i• 52 • ... • 5)> 1, функция G{W) показывает, во сколько раз оборудование, использованное при смешанной системе для представления в машине некоторого диапазона чисел, больше оборудования з случае двоичной системы, представ-♦ ляющей такой же диапазон чисел. Теорема 5.1. Если

FiS,)<F{S,)<...<FiSJ,

F{S,)<G{W)<F{SiJ.

Доказательство. Убедимся в справедливости теоремы для случая двух и трех оснований, исполь-. зуемых в смешанной системе. Из неравенства F(5,) < <F(Sf), или

следует, что

-л"-~Т~

/•21og2 4<,.21og25;;..

Добавим к обеим частям этого неравенства один раз величину t.Si 2 logg 5,-, а в другой раз величину