в первом случае получим

LS, 2 log2 (5;.. 5j) < 2 log S% (,5, + t,S,),

Bo"втором случае

2 log2 5J (,5. + ,5,; < t,S, 2 log2 (J.. S% ),

г.Л + hh hH pic-\ -

Ho так как F(S.)<F{Si), то

t; Si + t, S; Si

2Io&(S;;-.s20 210&S,-/

Из этого неравенства аналогично предыдущему определим

2 loga (S,;. S ) 2 loga (S- • S• 5/»)

и t. д.

.Читателю предлагается методом полной математической индукции доказать справедливость теоремы для любого числа., групп разрядов и любых оснований, сопоставляемых этим группам.

Смысл доказанной теоремы состоит в том, что смешанные системы по расходу оборудования занимают промежуточное положение между соответствующими каноническими системами. Например, система счета пятками по два требует большего расхода оборудования, чем двоичная система, но более экономична по сравнению с пятиричной системой счисления. В связи с этим можно утверждать, что переход от любой канонической системы с основанием S к смешанной системе описанного типа всегда (при 5 > 2) дает некоторую экономию оборудования. Наименьшее значение 5 может быть взято равным 6, так как шесть

является первым целым числом, которое разлагается на множители, каждый из которых отличен от единицы. Шестиричные разряды могут быть заменены группой из двух разрядов: одного двоичного и одного троичного. При этом расход оборудования на такую систему будет больше расхода на троичное представление, но мень4ие. расхода на двоичное представление данного диапазона чисел. Вообще из того, что >" f

5=f][5/>«j, вытекает неравенство F{S)>F{S)

= 2, ... ,т). Но с другой стороны, при любых 0{W) < maxF(5i), FS),..., F{SJi. Jlo3TOMy всегда имеет место неравенство

F{S)>0{W).

В силу технических трудностей реализации элементов с большим числом устойчивых состояний интересно рассмотреть случай, когда все цифры сме-uaннoй системы кодируются двоичным кодом. Для канонических систем оценочная функция в этом случае рассматривалась в § 1.9 (функция {S), задаваемая соотношением (1.19)). В случае смешанных систем аналогом этой функции является следующая оценочная функция

(S.) + h\ (Sg) + ... -ь trXm {S„)

S(U7):

(5.4)

£=1

\{S) = k при 5 = 2* и X(5) = [log2 5] +1 при 8ф2.

Аналогично тому, как это было доказано для функ-.ции 0(Щ, для E(V17) можно доказать следующую теорему.

Теорема 5.2. Если

то - - - .

- Доказательство. Если мы имеем систему счисления с основанием S = SS...Sl и заменяем каждые д разрядов в записи числа в этой системе ее двоичным эквивалентом, то

logzni ... . . • -

Так как

log2 5,.<X(5,.)<log2 5, + l и . .

то , .

log2 5 < S t,X iSi) < log2 5 + S z.

Так как X (5) и X (5,-) являются целыми, то из по-

лученного неравенства и того, что .

log25<X(5)<log25 + l, •

вытекает

S(W)>(5).

Например, переход от десятичной канонической системы к двоично-кодированной двоично-пятиричной системе не меняет количества необходимого оборудования, а переход от пятнадцатиричной канонической системы к троично-пятиричной двоично-кодированной системе дает увеличение необходимого оборудования на 25%.

§ 5.2. Дёоично-десятичное кодирование

Наибольший практический интерес представляет собой смешанная система, в которой каждый разряд канонической десятичной системы заменяется д двоичными разрядами с весами Pi, ... , Рд. Такие системы