Пусть теперь среди весов имеется z штук отрицательных весов. Тогда для всех л; < 2~ + г - 2 + 2 в старшем разряде двоичного кода должна стоять цифра нуль. Двоичные числа, для которых цифра, стоящая в i-u разряде, равна нулю для всех- > г - 1 р, для которых цифра, стоящая в 1-й разряде, равна 1 для i<2 -1, образуют множество, состоящее из 2"" - 2 + 1 числа. Отсюда следует, что г не может быть положительным.

. Следствие. Из доказанной теоремы следует, что при наличии отрицательных весов длина кода удовлетворяет неравенству

Z<[2-2+l],

которое может быть записано в другой форме как

г<[ад2*- + 1)]. (5.7)

Теорема.5.4; Для кодов, имеющих только положительные веса, справедливо неравенство

fe-i

Pfe<SPy + l • (5.8)

и Рй = \. Если для данного кода имеется z отрицательных весов, то справедливо неравенство

- • \рЛ<Ч\рАЛ-\ (5.9)

Ро1<2--2-- • "

Доказательство. Докажем справедливость теоремы для случая положительных весов. Если руХ, то в силу договоренности об упорядочивании расположения весов Pi > 1 для всех L Но это означает, что с помощью данного набора весов невозможно записать цифру 1. Таким образом, Ь.Если же для некоторого i не выполнено неравенство ,(5.8), то из этого следует невозможность представления в данной системе весов всех чисел, величина которых лежит в пределах от Pi i + р,- 2 -Ь ... + Ро до Pi-

Для случая, когда среди весов кода есть отрицательные веса, справедливость теоремы вытекает из следующего. Если неравенство (5.9) не выполняется

для некоторого i = z, то с помощью такой системы весов невозможно представить число 1, если же оно не выполняется для некоторого i>z, то. число вида

+ 2 не может быть представлено в данной си-

стеме весов. Справедливость неравенства (5.9) при i<z гарантируется соглашением об упорядочении весов в записи числа. Справедливость неравенства дла \Ро\ вытекает из следующего. Если г = 1, то с помощью {q- 1)-го положительного веса можно представить самое большее 2*~ различных чисел. Если х число меньшее, чем L, то 2~ - х число большее L (или равно ему). Отрицательный вес pQ может быть использован только при записи чисел, которые больше, чем \Pq\. к таким .числам относятся числа вида ро + 1, Ро + 2, ... , L - I и все числа, не меньшие, чем L. В первое множество входит Z - 1 +[/?(, чисел, а во второе множество, следовательно, входит х L - 1 - - \Po\ + 2- - x = L-l- Pal+y."- число. Тем са-.1*ым мы показали, что \р <2* - 1 действительно справедливо. =

Если число отрицательных весов больше единицы, то все рассуждения аналогичны при условии, что из множества положительных чисел необходимо вычесть множество отрицательных чисел, получающихся за счет использования рассматриваемого множества отрицательных весов. Легко посчитать, что если число отрицательных весов есть z, то число этих чисел равно 2~ - 1.

Теорема 5.5. Если множество весов содержит j раз вес, равный по абсолютному значению pj, пю

L<tu+lf, (5.10)

• . /-1

где j=l, 2, ... , q.

Справедливость утверждения очевидна.

Теорема 5.6. Для фиксированного q существует тюлько один весовой код, длина которого равна 2. Веса этого кода удовлетворяют условию Pi = 2\

Доказательство. Из соотношения (5.7) вытекает, что код длины 2* может существовать только при z = 0, т. е. только при множестве весов, среди

которых нет отрицательных весов. В соответствии

С тем, что YiPi>2 -\, и условием (5.8) получаем

результат теоремы.

Из перечисленных теорем вытекает метод построения весойозначных кодов. Перед тем как указать последовательность правил, приводящих к перечислению всех весомозначных кодов, введем важное для дальнейшего понятие.

Определение 5.3. Коды, получающиеся друг из друга простой перестановкой весов, образуют кодовую группу или просто группу.

Перейдем теперь -к описанию процесса построения всех весомозначных кодов, удовлетворяющих требованию единственности. Этот процесс состоит в выполнении следующих пяти шагов.

1. В соответствии с теоремой 5.4 выбирается допустимое значение-веса Рд. Выбираются все такие веса.

2. Для выбранного р выбирается р- так, чтобы удовлетворялось неравенство (5.8) или неравенство (5.9). Путем перебора для данного р выбираются все возможные значения р. Это же делается для всех других-значений р, полученных напервом шаге. Далее по множеству {р) строится множество допустимых значений р2 и т. д.

3. Перебор заканчивается, если перестают выполняться неравенства (5.7), (5.10) или условия теоремы (5.3).

4. Из построенных множеств весов отбрасываются те, которые не удовлетворяют неравенству

Y,Pi>L-\.

5. Найденные множества весов проверяются на условие, что с их помощью можно представить все необходимые числа.

В нижеприведенной таблице указаны все 86 групп весомозначных двоично-десятичных кодов, использующих для кодирования десятичных цифр двоичные тетрады.