Таблица 5,1

Теперь рассмотрим проблему построения кодов, удовлетворяющих не только требованию единственности и требованию весомозначности, но и таких, для которых выполнено свойство дополнительности. Множество этих кодов является подмножеством кодов, приведенных в табл. 5.1.

Теорема 5.7. Для того чтобы весомозначный код с положительными весами, для которого выполнено свойство единственности, удовлетворял бы требованию дополнительности, необходимо и достаточно, чтобы цифра 9 кодировалась тетрадой 1111 (т. е. сумма весов кода была бы равной девяти).

Доказательство. Необходимость теоремы очевидна. Для доказательства достаточности заметим,, что если условие теоремы выполнено и некоторой цифре а,- сопоставлена тетрада mnyn-jUQ, то цифре 9 -отбудет сопоставлена тетрада \\\\ - тт2тт = тттт. Теорема доказана.

Все коды, для которых выполнено одновременно требование единственности, весомозначности и дополнительности, приведены в следующей таблице.

Таблица 5.2

Эта таблица получена из табл. 5.1 путем выбора из нее только тех кодов с положительными весами, которые удовлетворяют требованию дополнительности.

Рассмотрим теперь коды с одним отрицательным весом и найдем все коды, удовлетворяющие условию дополнительности. Как и для кодов с положительными весами, необходимым условием дополнительности кода является кодирование цифры 9 тетрадой 1111. Однако это условие уже не является достаточным. Для нахождения достаточного условия докажем предварительно несколько вспомогательных лемм. Условимся

веса, сопоставляемые разрядам тетрады, обозначать как Pi, Рз, Р2. Pi-

Предварительно заметим, что при наличии одного отрицательного веса (мы в дальнейшем будем .предполагать, что отрицательным весом является вес р) при кодировании десятичных цифр нельзя использовать тетраду 0001 и дополнительную к ней тетраду 1110. Таким образом, если требовать дополнительности весомозначного кода, то число различных тетрад, которые можно использовать для кодирования десятичных цифр, равно 14.

Лемма 5.1. Не сушествует весомознтною кода с одним отрицательным весом, для которого бы было ттолнено свойство дополнительности, если все по-. ложительные веса этого кода равны между собой.

Если P2=Ps=Pi, то тетрады 1000, 0100, 0010 кодируют одну и ту же десятичную цифру. По свойству дополнительности тетрады 0111, 1011, 1101 также кодируют только одну цифру. Аналогичное утверждение верно и для тетрад 1100, ОНО и им дополнительных ООП и 1001. Наконец, вышеприведенное утверждение справедливо и для тетрад вида 0101, ООП и , дополнительных к ним 1010, 1100. Учитывая это, можно утверждать, что при равенстве между собой всех . трех положительных весов нет возможности обеспечить однозначное кодирование всех десяти цифр.

Лемма 5.2. Для всех Pi имеет место р < 8, где . Pi - положительные веса данного весомозначного кода.

Предположим, что р > 8. . Тогда тетрады 1010, 1100 и 1000 не могут быть использованы, ибо они кодируют цифры, не меньшие, чем цифра 9. Для цифры 9 необходимым условием является кодирование этой цифры тетрадой 1111. Поэтому нет возможности использовать при кодировании три вышеприведенные тетрады и три тетрады, дополнительные по отношению к ним. Оставшегося числа тетрад (восемь) недо--статочно для однозначного кодирования цифр.

Лемма 5.3. Если в весомозначном коде есть два равных положительных веса, то их сумма: не превосходит девяти.

Пусть Рз = 4 и Ръ+ Pi> 9. Тетрада 1100 при таком условии использована быть не может, а тетрады 1000 и 0100, а также дополнительные к ним- 0111 и