1011 дают одинаковое число.,Аналогичное утверждение имеет место и для тетрад 1001 и 0101 и допол-. нительных к ним ОНО и 1010. Оставшиеся тетрады не обеспечивают однозначного кодирования всех десятичных цифр.

Лемма 5.4. Сумма положительных весов весомо-знач-ного кода с одним отрицательным весом не превосходит пятнадцати.

Пусть Pi + Рз + рл> IG. Отсюда

/72 > 16-/73-/74, • Рз> 16-/72-/7з, /74>16-/72-/?з.

Используя лемму 5.2, получим

/7з + /74>8,

или .

Рз-Р2>0, Рз-Р4>0,

Pi-P2>0, ./72 -/74 > о,

Pi-pS>0, Р2-Ръ>-

Система этих неравенств эквивалентна равенству P2=p3=Pi-> которое противоречит лемме 5.1.

Лемма 5.5. Среди положительных весов весомознач-ного кода с одним отрицательным весом есть хотя бы- один вес, ке. превосходящий трех.

Предположим противное. Пусть для всех положительных весов справедливо, что Р/ > 3. Тогда

р2+Рз>у

p2 + Pi>Q, - •

/7з+А>6.

В силу свойства дополнительности из этих неравенств вытекает, что

Pl+P4<,

Р1+Рз<, Р1+Рй<3.

Исходя из леммы 5.1, можно утверждать, что левые части этих неравенств не могут совпадать между собой. Кроме того, равенство Pi+Pi = 0 {i = 2, 3, 4) невозможно, так как при этом число тетрад, с по-

мощью которых представляются десятичные цифры, меньше десяти. Поэтому

Но, Pi + Р2+ Рз + Pi = и, подставляя в это равенство Р2 и , выраженные через Pi, получим р - - = 6. Но тогда 3 < 4 < 4. Повторяя аналогичные рассуждения относительно весов и р, получим S<pi<4,5 (i = 2, 3, 4). Или р2=рз-=р = 4. Это равенство противоречит лемме 5.1.

Теорема 5.8. Существует только семнадцать групп. двоично-десятичных кодов, обладающих свойствами единственности и дополнительности. *щ Эти коды получаются из табл. 5.1 путем выбора кодов, удовлетворяющих условию 10</?2+/з+А < 15 и условиям лемм. Все семнадцать групп кодов приведены в нижеследующей таблице.

Таблица 5.3

Теперь рассмотрим задачу о нахождении всех кодов, удовлетворяющих свойству дополнительности для кодов с двумя отрицательными весами. Будем предполагать, что веса и р являются отрицательными, а веса р и р- положительными. Тогда тетрады 0001, 0010, ООП и дополнительные к ним 1110,

1101, 1100 не могут быть использованы при кодировании десятичных цифр. Таким образом; количество различных допустимых тетрад равно 10. Из того, что тетрада 1111 сопоставляется цифре 9, следует, что /з + /4 = 9 + IPiI + [Рг! • Это равенство возможно только при выполнении неравенства Рз+р> 11. С другой стороны, по-прежнему справедлива лемма 5.2. Таким образом, имеет место неравенство 11</7з +

Лемма 5.6. Один из двух положительных весов должен быть равен восьми.

Предположим противное: Рз < 8 и Pi<.. Тогда среди них нет веса, равного единице, ибо Ра+Pi> 11. Отсюда для кодирования единицы необходимо pi + -fpy=l, где /=1, 2, а г = 3, 4. Из этого равенства . в силу свойства дополнительности вытекает + р=8, где k ц. т определяются следующим образом

1, i = 2, ГЗ, У = 4,

2, = 1, Л 4, у = 3.

Однако равенство Pft+/7 = 8 в силу предположения невозможно.

Лемма 5.7. Один из отрицательных весов должен равняться -1, а второй отрицательный вес должен быть равен 2-pi, где pi - положительный вес, отличный от восьми.

Для доказательства леммы заметим, что из леммы i5.6 следует /74 = 8 и условие + /г + Рз + Р4 = 9 принимает вид /71+Р2+Рз=1- Закодируем в данной системе весов цифру два. -Это кодирование возможно осуществить лишь одним из следующих двух спосо-бов: Рз + Рг==2 или 8 + р, = 2 i = 2. В силу дополнительности одновременно с этими равенствами должны соответственно выполнять равенства 8 + р, = 7 или Рз + Pi = 7- первой пары равенств. следует, что /7i = ~l и Ру==2 -Рз. Из второй пары равенств следует, что Pi=- 6 я pj = 7-Ps- Но так как р < 7, то второе равенство не дает решения.

Теорема 5.9. Существует только две группы весомозначных двоично-десятичных кодов, обладающих свойствами единственности а дополнительности.

Доказательство. Эти коды получаются из табл. 5.1 путем просмотра кодов с двумя отрицатель-