ными весами, удовлетворяющих лемме 5.7, и одним положительным весом, равным 8. Эти два кода суть коды 86 (-1) (-4) и 84(-2) (-1).

Из теорем 5.7,5.8 и 5.9 вытекает, что имеется только 23 группы двоично-десятичных кодов, которые обладают свойствами весомозначности, дополнительности и единственности. Эти группы кодов перечислены в табл. 5.2 и 5.3 и в доказательстве теоремы 5.9.

Рассмотрим теперь требование упорядоченности.

Теорема 5.10. Если среди весов весомозначного кода есть хотя бы один отрицательный вес, то требование упорядоченности не выполняется.

Доказательство. Пусть вес р является отри-»цательным. Тогда тетрады для х и mmjnO и mimml находятся в. отношении mjnmO <тПзт2\. На при этом кодируемые цифры находятся в отношении 1 > 2, если цифре Xi сопоставлена тетрада mjjnmO, а цифре -тетрада тппцХ. Пусть Pi {i ф 1) есть положительный вес (для определенности •возьмем г = 4), Тогда тетрада Xthmm больше тетрады Опцпцт и аналогичное отношение имеется между кодируемыми этими тетрадами цифрами. В силу этого- для весомозначных двоично-десятичных кодов, имеющих отрицательные веса, требование упорядоченности; не может быть выполнено.

Таким образом, четырем требованиям из пяти требований Рутисхаузера удовлетворяет только четыре-группы кодов 5211, 4311, 4221 и 3321. В каждой из групп можно брать различные коды, производя перестановку весов. Для йервой группы возможные комбинации порядка весов следующие: 5211, 5121, 5112, 1125, 1215, 2115, 1512 и т. д. Однако, учитывая требование упорядоченности, мы можем использовать только коды 5211,5121. Аналогично для группы 4311 можно использовать лишь код 4311. Для оставшихся двух групп можно использов-ать код-ы 4221, 2421, 3321. Эти. коды приведены в нижеследующей таблице 5.4.

Из рассмотрения этой таблицы вытекает следующая теорема.

Теорема 5.11. Существует пюлъко два двоично-десятичных кода, удовлетворяющих требованиям Рутисхаузера.

Таблица 6.4

Как следует из табл. 5.4, эти два кода суть коды с весами 4221 и 2421. По тетрадам, используемым для кодирования, они отличаются только в тетрадах, используемых при .кодировании цифр 4 и 5. Эти два кода принято называть кодами Эмери. Один из них {код 2421) был использован впервые .ц швейцарской вычислительной машине, а затем получил достаточно широкое распространение. Свойства этих к)дов будут рассмотрены в § 5.4.

Иногда к двоично-десятичным кодам предъявляются требования, отличные от требований Рутисхаузера. Примером такого требования является требование однозначного представления. По определению код удовлетворяет требованию однозначного представления, если каждой десятичной цифре может быть сопоставлена при данном множестве весов только одна из шестнадцати тетрад. Примером кода, не удовлетворяющего требованию однозначности, может служить код 2421, в котором запись цифры 2 может выглядеть и как 1000, и как 0010.

Лемма 5.8. Если веса кода положительны, то единственным двоично-десятичным кодом, удовлетворяющим требованию однозначности, является код прямого замещения.

Если все веса кода положительны, то для кодирования цифры 1 необходим вес, равный единице. Для кодирования цифры 2 яеобходим вес, равный либо • единице, либо двум. Однако вес, равный единице, брать нельзя, так как такой вес уже есть и при наличии двух одинаковых .единичных весов цифра 1 не будет кодироваться однозначно. Следовательно, второй вес может быть равен только двум. Далее, третий вес может быть равен двум, трем или четырем, ибо в противном случае будет невозможно закодировать цифру 4. Из этих весов необходимо выбрать вес, равный четырем, так как в противном случае однозначность нарушается. Наконец, при выборе четвертого веса единственной возможностью является выбор веса, равного восьми.

Для кодов, имеющих отрицательные веса, критерий однозначного кодирования формулируется в следующей теореме, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 5.12. Для того чтобы система весов pi, pz> Pt давала однозначное представление десятичных цифр, необходимо

и достаточно, чтобы неравенство "iPi О выполнялось бы

для любых значений Pj, взятых из множества {-1, О, 1}, кроме случая, когда все р,- берутся равными нулю.

В нижеследующей таблице перечислены двоично-десятичные -коды, удовлетворяющие требованию однозначности.

Таблица 5.5 .<

Существует еще группа кодов, которые хотя и не удовлетворяют требованию весомозначности, "по оказываются просто связанными с каким-либо весомо-значным кодом, обладая при этом весьма удобными: свойствами, связанными с простотой арифметических операций в таких кодах. Среди подобных кодов наиболее известны коды, с избытком относительно кода прямого замещения. Эти коды -получаются из кода прямого замещения с помощью добавления к каждой" тетраде кода прямого замещения некоторого постоянного числа, называемого избытком. В нижеследующей таблице приведены некоторые коды с избытком относительно. кода прямого замещения.

Кроме кодов, приведенных в этой таблице, возможны еще коды с избытком 11, 12, 13, 14 и 15. Однако все коды, начиная с кода с избытком 7, неинтересны для рассмотрения, так как все они не удовле-