операции умножения масштаб произведения есть сумма масштабов сомножителей, а при выполнении операции деления масштаб частного есть разность масштабов делимого и делителя. Эти положения также должны учитываться человеком, решающим задачу на данной машине.

Пример 1.11. Пусть необходимо найти

В десятичной системе сч-исления при условии, что разрядная сетка машины имеет шесть разрядов. При этом 0,5<а< 1,2; 0,7<6<4,5; с = 12; 0<flf<350. Вводим масштабы на. исходные данные

В машину вводятся числа а, Ь, с, d, удовлетворяющие неравенствам: 0,05 < а < 0,12; 0,07 < 6< 0,45; с = 0,12; 0<й?<0,35

a-b bC

Максимальное значение а + Ь = 0,58 < 1, максимальное значение дроби есть > 1. Для устране-

ния этого необходимо изменить масштаб для с. Если

лл 1/4 с 0,0012 .,

выбрать УИ = 10-, то max -z:rr = --и перепол-

0,0035

нения разрядной сетки не произойдет. Наконец,

d 0,35 ... max -г-г- =--Г устранения переполне-

ния необходимо взять масштаб для d, равный 10. Теперь .

,0-ia + b) + ----i =

W-a-lOib 10>-Ь-10*-с

= 10Ча + 6) + 10--10 •-Л-.

а-Ь Ь-с

32 .

Для производства операции сложения и операции вычитания необходимо уравнять масштабы всех слагаемых. Для этого вродим УИ - = 10Ч Тогда

аЬ hc

. Результат у получается с масштабом 10.

Все проведенные в примере рассуждения позво* ляют оценить трудность работы по масштабированию, которую должен провести человек, решающий задачу на машине с естественной формой .представления число-вой информации. Поскольку при подобной работе нельзя быть гарантированным от ошибок, то необходимо предусмотреть в машине специальные методы, которые позволяли бы автоматически устранять или по крайней мере обнаруживать возникающие переполнения Примеры таких методов рассматри.-ваются в § 1.4. . 3. Из рассуждений предыдущего пункта вытекает, что для большегоспокойствия лица, решающего задачу, можно было бы ввести достаточно большие масштабы, сделав значения х в машине столь малыми, что опасность переполнения разрядной сетки стала бы незначительной. Однако такой путь явно неприемлем, так как он приводит к потере точности вычислений.

Если разрядная сетка вычислительной машины содержит п разрядов, то абсолютная погрешность любого числа л, вводимого в машину, есть Д= 5" .Если же оценить относительную погрешность пред-

ставления х, то из соотношения ь =- вытекает,

что чем меньше абсолютное значение х, тем большую относительную погрешность оно имеет. Таким образом, введение числа х в машину с большим масштабом приводит к большой потере точности. J, Но даже при небольших масштабах исходных дан- ных в машинах с фиксированной запятой относительная погрешность быстро растет за счет того, что результат операции становится меньше по абсолютному значению. Особенно опасна в этом смысле опе-

U-79.-3 . "33.

рация умножения. Так как сомножители всегда меньше единицы, то произведение всегда меньше (по абсолютному значению) сомножителей. Правда при этом" увеличивается его масштаб, и человек, решающий задачу на машине, может принять меры к его уменьшению, но это приводит к большой трудоемкости процесса решения задачи. В предельном случае может. случиться так, что первая значащая цифра в коде , числа окажется правее самого правого разряда, в раз-рядной сетке машины. В этом случае в машине возникнет код нуля (так называемь1й машинный нуль). На самом деле, истинное число х при этом- может быть весьма велико, и результат машинных вычислений будет иметь стопроцентную погрешность.

Указанные недостатки позволяют оценить естественную форму представления информации с точки зрения человека, решающего задачи на машине, как весьма неудобную. Единственным положительным свойством такой формы является малый расход оборудования на представление числовой информации в машине и высокая производительность арифметического устройства, вытекающая из простой логики производства операций, ибо значительная часть работы по производству их выполняется вручную.

Указанные недостатки естественной формы представления устраняются при использовании полулогарифмической фопмы, которую называют также представлением с плаеающ,е11 запятой. При использовании полулогарифмической формы в разрядную сетку машины записывается не только масштабированное число, но и масштаб этого числа. Если масштаб х имеет

вид S где /Jjj -целое, то нет необходимости записывать . в разрядной сетке весь масштаб целиком, а достаточно,записать в ней лишь порядок масштабар. Значение р определяет число разрядов, отводимых в разрядной сетке для записи целой части числа х. Таким образом, при полулогарифмической форме пред-

ставления всякое число х имеет вид х~ S-x, где 1л;1<1. В этом случае х называется мантиссой числа -х и обозначается как т. В разрядную сетку записывается код порядка и код мантиссы. Нетрудно видеть, что представление числа в полулогарифмиче-