I Наиболее очевидный способ определения знака f числа состоит в том, что по коду в остатках числа х

* строится его десятичный эквивалент по одному из методов, описанных выше, а затем происходит сравнение этого десятичного эквивалента с числом 0,5р

S (предполагается, что произведение модулей системы является четным числом). Если х < 0,5р, то данный код является кодом положительного числа, в противном случае данный код соответствует отрицательному

числу х- Однако такой способ определения знака

неможет считаться приемлемым, так как он требует в вычислительной машине, работающей в коде в остатках, наличия специальных устройств, производящих сравнение в десятичной системе счисления, что весьма не выгодно.

Более удобным является определение знака кода числа по его представлению в виде (6.1).

При этом, если является четным числом, то х будет положительным, если лежит.в интервале от О до 0,5,/»„+1 - 1 и л будет отрицательно, если Ь„ лежит в интервале от 0,5/?„+i до p„i - 1. Это непо-средственно следует из (6.1). Ибо в первом случае

• первое слагаемое в (6.1) принимает максимальное зна-

- чете,/равное -Pi-рР„- Если предположить,

что все bi при этом принимают свои максимальные значения (т. е. Pi+\ - l, то л в соответствии с (6.1) примет вид

X=--Pi-P2- Pn+PlР2 - -Рп-Рх-Р2:.-Рп-1+.

+ ...+АР2-Р1+А-1=у-1< у •

Если берется из интервала (0,5P„+i, Pn+i-1). то даже ( при самом малом значении Ь„ и при нулевых значениях всех остальных bi на основании (6,1) получаем р

х = ~. Таким образом, определение знака числа сводится к определению интервала, в котором находится • при условии, что является четным числом,

пример 6.8. Определить знак числа (л:) = 120 в системе модулей Pi==3, /2 = 5, Ps = 2.

На основании алгоритма перевода кода в остатках в весомозначную систему, определяемую с помощью соотношения (6.1), последовательно получаем о=1-После первого вычитания исходный код принимает вид 013. Формальная обратная величина для трех при модуле 5 есть 2, а при модуле 2 является единицей. Тогда после умножения имеем код 023. Отсюда bi=2. Вычитая двойку, получаем 001. Для пяти обратная формальная величина при модуле 2 есть единица. Таким образом, &2=1 и искомое число л:=ЬЗ-5 + + 2-3 + 1 = 22. Так как цифра &2 > 0.5/?„+i - 1 =0, то мы имеем отрицательное число, равное -7.

Пример 6.9. Для системы модулей Pi = 7, /?2 = 11, Рз==13 определить знак числа х, если (л) = 040.

В этом случае среди системы модулей нет четного модуля. Поэтому единственным способом определения знака является нахождение десятичного значения числа и сравнения его с половиной произведения всех модулей. Для получения десятичной записи воспользуемся переходом к выражению (6.1). Имеем b = G. Первая разность совпадает с исходным кодом и равна 040, Формальные обратные величины для семерки при модулях 11 и 13 равны соответственно 8 и 2. После умножения на эти величины получим код О, 10, О Отсюда bi = 10, После вычитания получаем код 003. Формальная обратная величина для одиннадцати при модуле тринадцать есть 6. Умножая на нее, получаем код 005. Отсюда л = 455 < 0,5 (/? -f 1) = 501. Следовательно, X число положительное.

Рассмотренные нами методы определения знака числа весьма громоздки, так как они требуют перехода от кода в остатках, либо к десятичному представлению числа, либо к его записи в виде соотно-гйения (6.1). Однако, как было показано Н. Сабо, не существует более простого алгоритма определения знака числа, закодированного в коде в остатках. Теорема, доказанная Н. Сабогриводится нами без доказательства. Интересующиеся доказательством могут познакомиться с ним по литературе, указанной к главе 6. .

теорема 6.7, При любом разбиении множества М на подмножества М и М" точками 1 и /а (кМ и lM") и любом способе образования функций

g-(rest- и /g-(rest-,... ...,,(,esti),.... <re"i)). . .

rest - может принимать г различных значений,

где r<ip существуют по крайней мере два числа

Xi- и х, принадлежащие М и такие, что jCj , • Х2 6 Л!", для копъорых / (i) = / (лг), если при этом удовлетворяются условия /i - /г I > Pil 14 ~ А I > А» P:Pi>Pi. (Разность 1 - 1 берется по mod Р).

Функция / в этой теореме играет роль характеристической функции, с помощью которой происходит отображение кодов положительных и отрицательных чисел на различные множества. Смысл теоремы

состоит в том, что при условии, что g"rest- принимает только г различных значений т. р. grest- отображает различных точек, соответствующих />,.

возможным различным значениям rest - на меньшее

число различных точек, уменьшая информацию г-го разряда в коде в остатках), условия, налагаемые на функцию /, оказываются невыполнимыми. Таким образом, для построения функции, определяющей знак числа, оказывается необходимым получение всей возможной информации о числе без всякого сокращения информации о его представлении в виде (6.1) или каком-нибудь другом представлении.

В процессе работыс кодом в остатках может встре-

,титься необходимость в расширении или сужении системы модулей. При сужении системы модулей из системы исключаются некоторые модули и соответствующие разряды кодового представления не исполь-

;- зуются. При расширении системы модулей возникают проблемы определения Цифр в разрядах добавляемых модулей. Если для определения цифр кода в остатках