Главная » Периодика » Безопасность

0123 ... 70

элементы теории полей

1. Предварительные замечания

Полем мы называем непустое множество Р комплексных чисел, обладающее следующими свойствами:

1) если аР и ЬР, то a-hP и аЬР;

2) если сР, то -сРи с-Р(при 0=5=0). Полями являются, например, поле рациональных чисел /?,

поле действительных чисел D и поле комплексных чисел С.

Поле Р называется подполем поля К, а поле К - расширением поля Р, если любой элемент поля Р принадлежит полю К, т. е. если ) РсК. Любое поле (в нашем смысле) является подполем поля комплексных чисел.

Легко видеть, что каждое поле содержит единицу, а следовательно, и все поле рациональных чисел R, т. е. любое поле является расширением поля рациональных чисел. В современной алгебре принято абстрактное определение поля как множества с двумя алгебраическими операциями, удовлетворяющими определенным аксиомам (см. Курс,стр. 276). В отличие от таких «абстрактных» полей, поля в нашем смысле называются числовыми. Излагаемую в этой книге теорию можно без большого труда перенести и на случай нечисловых полей. Переход от числовых полей к произвольным влечет в основном лишь чисто технические трудности. Эти трудности связаны с тем, что в нечисловом поле некоторое кратное единицы может оказаться равным нулю, а неприводимый многочлен - обладать кратными корнями.

) Обозначение РсК не исключает случая, когда Р соэп9-дает с К,,

Поля, В которых это затруднение не возникает, называются полями характеристики О (см. Курс, стр. -280 и 296). К ним, кроме числовых полей., принадлежат, например, поля рациональных функций. Другая, более существенная трудность, возникающая при переходе от числовых к нечисловым полям, проявляется, в частности, в том, что различные нечисловые поля, вообще говоря, никак не связаны между собой: например, нельзя говорить о сумме элементов двух различных полей. Эту трудность удобнее всего преодолеть, ограничив класс рассматриваемых полей подполями некоторого достаточно широкого «универсального» поля. Именно на этом пути, выбирая за универсальное поле поле комплексных чисел, мы и приходим к числовым полям. В общем случае от универсального поля достаточно потребовать алгебраической замкнутости, т. е. потребовать, чтобы любой многочлен над этим полем разлагался в нем на линейные множители. Легко проверяется, что вся излагаемая ниже теория остается справедливой без каких-либо изменений, если под полями понимать подполя некоторого алгебраически замкнутого поля характеристики 0.

Это обстоятельство мы существенно используем в гл. 4, ч. II.

2. Некоторые важные типы расширений

Расширение К поля Р называется конечным, если

в поле К существуют такие элементы aj.....а„, что любой

элемент Р /С единственным образом записывается в виде линейной комбинации этих элементов с коэффициентами из поля Р:

p = ••• -fV„. h.....b„p.

Обладающая этим свойством система элементов aj, ..., а„ называется базисом поля К над полем Р.

К понятию конечного расширения можно подойти и с другой стороны, заметив, что любое расширение L поля Р можно рассматривать как линейное пространство над полем Р. Действительно, элементы поля К можно складывать и умножать на элементы поля Р, причем обе операции (сложение и умножение на элементы поля Р), очевидно, обладают всеми необходимыми свойствами. С этой точки зрения расширение К тогда и только тогда конечно, когда оно имеет конечную

2. НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ТИПЫ РАСШИРЕНИЙ 11

размерность (как линейное пространство над полем Р), а система элементов тогда и только тогда является его базисом (в только что определенном смысле), когда она является его базисом в смысле теории линейных, пространств. Так как все базисы конечномерного линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов, то, в частности, все базисы поля К над полем Р состоят из одного и того же числа элементов. Это число называется степенью поля К над полем Р и обозначается через [К: Р] (с точки зрения теории линейных пространств степень поля К-это его размерность как линейного пространства над полем Р).

Задача. Доказать, что степень [К : Р] тогда и только тогда равна единице, когда К = Р.

Пусть Р-произвольное поле (числовое) и .....а„ -

произвольные числа (т. е. элементы поля С). Рассмотрим всевозможные поля, являющиеся расширениями поля Р и содержащие числа а,, а„. Такие поля существуют, ибо, например, к их числу принадлежит поле С всех комплексных чисел. Легко видеть, что пересечение всех этих полей также является полем (вообще без труда доказывается, что пересечение любой системы полей само является полем). Это пересечение является, очевидно, минимальным расширением поля Р, содержащим числа aj, .... а„ (минимальность означает, что это пересечение является подполем любого

другого, содержащего числа aj.....а„, расширения поля Р).

Это минимальное расширение обозначается через P(ai.....а„)

и называется расширением, порожденным числами aj.....а„.

Очевидно, что Р{а......а„) = Р тогда и только тогда,

когда ац .... а„ Р.

Задача. Доказать, что поле Р(а,..,, а„) можно определить как совокупность всех чисел, получающихся в результате применения к числам поля Р и числам ttj.....а„ всевозможных комбинаций четырех арифметических действий.

Число а называется алгебраическим над полем Р, если оно является корнем некоторого (не равного тождественно нулю) многочлена с коэффициентами из поля Р. Люббй элемент поля Р, очевидно, алгебраичен над этим полем (если верно и обратное, т. е. если любое алгебраическое над полем Р число принадлежит этому полю, то Р называется алгебраически замкнутым полем; ср. п. 1)

0123 ... 70