Очевидно, далее, что любое число, алгебраическое над полем Р, является алгебраическим числом и над любым расширением поля Р. Подчеркнем, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, любое комплексное число является алгебраическим над полем D действительных чисел (ибо оно является корнем квадратного трехчлена с действительными коэффициентами), тогда как существуют числа (даже действительные), не алгебраические над полем R рациональных чисел. В качестве примера неалгебраических над полем R чисел можно указать известные числа е и и, неалгебраичность которых доказывается в полных курсах теории чисел (см. также ниже, ч. III. гл. 4, п. 4).

Расширение К поля Р называется алгебраически порожденным, если оно порождается некоторой конечной системой алгебраических над полем Р чисел, т. е. если существуют такие алгебраические над полем Р числа aj,..., а,

что К~Р(с1-1..... а„). Если, в частности то поле

/C = P(ai) называется простым алгебраическим расширением поля Р.

Расширение К поля Р называется составным алгебраическим расширением, если существует такая цепочка под-полей

РЦсЦс: ... c:L ,c:L- = K,

начинающаяся с поля Р и кончающаяся полем К, что для любого /=1, S поле Ll является простым алгебраическим расширением поля Если Z, = Z,; i (а), 1=1.....s,

то поле К обозначается через Р{а)(а2) ... (а). Подчеркнем, что алгебраичность чисел aj.....над полем Р в этом

определении не предполагается.

Наконец, расширение К поля Р называется алгебраическим, если любой его элемент является числом алгебраическим над полем Р.

Таким образом, мы ввели следующие пять типов расширения:

1° конечные расширения; 2° алгебраически порожденные расширения; 3° составные алгебраические расширения; 4° простые алгебраические расширения; 5° алгебраические расширения.

3. СТРОЕНИЕ ПРОСТЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ РАСШИРЕНИЙ 13

В этой главе мы изучим соотношения, имеющиеся между этими типами расширений, а также строение расширений каждого из этих типов (кроме, впрочем, последнего).

3. Минимальный многочлен. Строение простых алгебраических расширений

Пусть Р - произвольное поле и а - алгебраическое над полем Р число. По определению, число а является корнем некоторого отличного от нуля многочлена над полем Р (т. е. многочлена с коэффициентами из поля Р). Многочлен, имеющий наименьшую степень среди всех многочленов с этим свойством, называется минимальным многочленом алгебраического числа а. Этот многочлен неприводим, ибо в противном случае число а было бы корнем хотя бы одного его делителя меньшей степени, что по условию невозможно. Любой многочлен, корнем которого является число а, не взаимно прост с минимальным многочленом и, следовательно, делится на этот многочлен. В частности, неприводимый многочлен с корнем а может отличаться от минимального многочлена лишь постоянным множителем. Другими словами, неприводимый многочлен с корнем а определен однЪзначно (с точностью до постоянного множителя). Степень и этого многочлена называется степенью алгебраического числа а над полем Р. Степень и равна единице тогда и только тогда, когда аР.

Пусть а - алгебраическое над полем Р число, f (х) - его минимальный многочлен и п - его степень..Рассмотрим множество К всех чисел р, для каждого из которых существует такой многочлен (л;) над полем Р, что = g(a.). Очевидно, что

А:с:Р(а).

Докажем, что К является полем. Так как сумма, разность и произведение любых элементов из К, очевидно, снова принадлежат К, то нужно только доказать, что для любого отличного от нуля числа Р/С число также принадлежит К.

По определению

где g(x) - некоторый многочлен над полем Р. Поскольку gicl)фO, то многочлен g(x) не делится на многочлен f (х) и, следовательно (в силу неприводимости многочлена f(x)), многочлены g(x) и f(x) взаимно просты. Поэтому, согласно известной теореме (см. Курс, стр. 141), над полем Р существуют такие многочлены и(х) и v{x), что

f(x)u(x)-gix)v{x)=l.

Полагая в этом равенстве л: = а, мы получим

PU(a) = l,

т. е. р-1 = г>(а), так что ~К.

Таким образом, множество К действительно является полем. Так как, по определению, PczK и аК, то К является расширением поля Р, содержащим число а. Поэтому в силу минимальности поля Р (а)

Р{а)(=К.

Сопоставляя это включение с включением KciP{a), мы получаем, что

К = Р(а). Тем самым мы доказали, что

для любого элемента р поля Я (а) найдется такой многочлен g(x) над полем Р, что P = g"(a).

Этот многочлен определен неоднозначно, ибо к нему можно прибавить любой многочлен, делящийся на многочлен /(х). Другими словами, если разность g(x) - gi(x) делится на многочлен /(х), то g" (а) = (а). Обратно, если g (a) = gi(a), то многочлены g{x) - giix) и f(x) не взаимно просты (ибо они имеют общий корень а) и, следовательно, многочлен g(x) - g (х) делится на многочлен / (л;). Таким образом,

g(a)==gi(a)

тогда и только тогда, когда разность g(x) - gi(x) делится на многочлен f(x).

В частности, если г(х) - остаток от деления многочлена g(x) на многочлен f (х), то g(oC) = r(a). Следовательно, любой элемент поля Р(а) можно представить в виде г (а), где степень многочлена г{х) меньше и (т. е. меньше степени многочлена /(л:)). Другими словами, для любого