вание конечномерного пространства тогда и только тогда взаимно однозначно, когда оно никакой отличный от нуля вектор не переводит в нулевой вектор (см. Курс,, стр. 205), то можно показать, что для случая конечных (и в частности нормальных) расширений в определении понятия автоморфизма поля К над полем Р условие взаимной однозначности можно опустить, т. е.

любое отображение S конечного расширения К в себя, обладающее свойствами (1) и оставляющее, на месте все элементы поля Р, взаимно однозначно, т. е. является автоморфизмом поля К над полем Р.

Действительно, если сР и а, то

(са)* = с*а* = са*.

Кроме того, для любых элементов аир поля К

(a + p)« = aS-f.ps.

Это означает, что отображение 5 представляет собой линейное преобразование поля К, рассматриваемого как линейное (конечномерное) пространство над полем Р (см. гл. 1, п. 2). Поэтому, в силу отмеченного выше факта из теории линейных преобразований, для доказательства сформулированного утверждения достаточно показать, что если а fc О, то и а* т<= 0. Но если а fc О, то в поле К существует такой элемент р, что ар = 1 и, следовательно, а*р=1. Таким образом, действительно, а* fc 0.

3. Порядок группы Галуа

Пусть К - произвольное нормальное расширение поля Р. Согласно гл. 1, п. 7, расширение К является простым алгебраическим расширением, т. е. в ЛГ существует такой элемент 9, что

К = Р(Ь).

Степень п минимального многочлена f(x) элемента 9 равна степени [К : Р] поля К над полем Р. Любой элемент а поля К имеет однозначную запись вида

a = Co+Ci9+ ... +c„ i9-. где Сц, Cj.....c„ i6P. (1)

Как доказано в предыдущем пункте, любой автоморфизм 5 из группы Галуа О (К, Р) переводит корень О снова в корень

многочлена f {х). Другими словами, каждому автоморфизму 5 О (Л", Р) соответствует некоторый корень многочлена / {х) (при выбранном корне 9). Изучим это соответствие подробнее.

Пусть Ь - произвольный корень многочлена /(л:). Так как поле К нормально и то 9. Определим пре-

образование 5 поля К в себя, положив для любого элемента (1) из этого поля

aS = Co+Ci6 + ... +C„ i9"-. (2)

Так как запись элемента а в виде (1) однозначна, то формула (2) определяет элемент а* единственным образом.

Определение преобразования 5 можно, очевидно, сформулировать следующим образом: если

где g{x) - многочлен над полем Р, имеющий степень, меньшую п, то

aS = g{b).

Рассмотрим теперь над полем Р многочлен g{x) произвольной степени, и пусть

a=.g(9).

Разделим (с остатком) многочлен g{x) на многочлен f{x).

g(x)f(x)q(x)-\-r(x). (3)

Полагая в этом равенстве л; = 9, мы получим, поскольку /(6) = О, что

а = г(9).

Так как степень многочлена г(х) меньше п, то отсюда вытекает, что

а« = г(9).

С другой стороны, полагая в формуле (3) х = Ь, мы получим, что

(90 = г (60.

Следовательно,

aS = g{n

Таким образом,

(6)5 = (90

независимо от того, какова степень многочлена g(x). Пусть теперь

а, = «-,(9), а2 = 2(9) - произвольные элементы поля К. Тогда

ai + a2 = ffi(6) + ff2(9). aia2 = ffi(9)«-2(9)

и, следовательно,

(а, Ч- «2)5 = , (90 -f 2 (9) = af + af. W = i(9)«-2(9) = afaf.

Таким образом, преобразование 5 сохраняет сумму и произведение, т. е. обладает свойствами (1) п. 2. Кроме того, это преобразование, очевидно, оставляет все элементы поля Р на месте. Поэтому (см. замечание к п. 2) преобразование 5 является автоморфизмом поля К над полем Р, т. е. принадлежит группе Галуа О (К, Р).

Тот факт, что преобразование 5 является автоморфизмом, т. е., кроме свойств (1) п. 2, обладает также и свойством взаимной однозначности, можно доказать и не пользуясь замечанием к п. 2. Действительно, рассмотрим поле Р{Ь), Так как 9f АГ, то

Я (90 с л:.

С другой.стороны, степень поля Я(9) над полем Р равна степени многочлена f (х), т. е. равна степени поля К. Следовательно,

Р{Ь) = К.

Отсюда следует, что наряду с записью (1) любой элемент а поля К имеет однозначную запись вида

а = с;+<94- ... (4)

где с;, с\.....С б А

Определим теперь преобразование S поля К в себя, положив для любого элемента (4) из этого поля

й ci + cle-i- ... --c; i9"-.