Так как, очевидно,

(т. е. S = то преобразование 5 является, как и утверждалось, взаимно однозначным преобразованием поля К на себя (ибо из а* = р* следует, что aS- ss т е. что а = р и для любого элемента аК существует такой элемент р, именно р = а*, что р* = а), т. е. является автоморфизмом.

Построенный автоморфизм 5 переводит корень 0 в корень б:

9« = 9,

т. е. этот автоморфизм соответствует корню б в указанном выше смысле. Таким образом, доказано, что для любого корня многочлена /(л;) существует в группе Галуа О {К, Р) автоморфизм, которому этот корень соответствует. Оказывается, что автоморфизм однозначно определяется соответствующим корнем, т. е. если

95 = ЬТ,

5= г.

Действительно, если 0* = 9", то 9*"~ = 9, т. е. автоморфизм 5Г~ оставляет корень 9 на месте и, следовательно, оставляет на месте любое выражение вида

Co+Ci9+ ... +с„ ,9-, где с,.....с„ ,Р,

т. е. оставляет на месте любой элемент поля К. Таким образом, ST~ = E и потому 5= Г.

Итак, элементы группы Галуа О (К, Р) (т. е. автоморфизмы поля К над полем Р) находятся во взаимно однозначном соответствии с корнями многочлена f{x), и, следовательно, их число, т. е. порядок группы о(к, Р), равно числу корней многочлена f (х), т. е. равно п (все корни многочлена /(л;) различны, так как этот многочлен неприводим). Тем самым мы доказали, что

порядок группы Г алуа О {К, Р) равен степени поля К над полем Р.

4. Соответствие Галуа

Пусть, как и выше, = Я (9)-произвольное нормальное расширение основного поля Р и О (К, Я)-его группа Галуа над полем Я.

В этом пункте мы будем рассматривать расширения L поля Я, содержащиеся в поле К:

PdLdK.

Такие расширения мы будем называть промежуточными полями.

Многочлен f(x) над полем Я, корнем которого является число 9, можно рассматривать и как многочлен над любьГм промежуточным полем L. Очевидно, что его полем разложения над L является поле L{S) (почему?). Следовательно, поле £,(9) нормально над полем L. С другой стороны, так как PcL, то Я(9)с:£,(9), т. е. /<c:L(b), а так как LciK и ВК, то L(B)c:K. Следовательно, /( = L(b). Таким образом,

поле К нормально над любым промежуточным полем L.

Поэтому можно говорить о группе Галуа О (/С, L) поля К над полем L. Согласно доказанному в предыдущем пункте, порядок группы О {К, L) равен степени поля К над полем L.

Элементами группы О {К, L) являются, по определению, автоморфизмы поля К, оставляющие на месте любой элемент поля L. Так как Pc:L, то эти автоморфизмы оставляют на месте и любой элемент поля Я, т. е. являются элементами группы Галуа О (К, Я) поля К над полем Я. Таким образом,

О (К. L)czO(K. Я),

то есть

группа Галуа поля К над полем L является подгруппой группы Галуа поля К над полем Р. Ее порядок равен степени [К: Ц поля К над полем L.

Пусть теперь Н - произвольная подгруппа группы Галуа О (К, Я). Очевидно, что совокупность всех элементов поля К, остающихся на месте при любом автоморфизме из подгруппы Н, является подполем поля К. Это подполе содержит поле Я, т. е. является промежуточным полем. Мы будем обозначать его через К (О, Н),

Пусть

7i = £, 7*2.....

- все элементы подгруппы Н (таким образом, т - порядок подгруппы Н). Рассмотрим многочлен

А()=11(--еЧ

Его корнями являются числа

, =е. е"».....ет. (i)

Пи любом автоморфизме ТН эти числа переходят в числа

е=е е.....е" (2)

Но элементы

ТТ.....Г„Г,

очевидно, исчерпывают все элементы подгруппы Я (их /и и они все различны). Следовательно, числа (2) с точностью до порядка следования совпадают с числами (1). Другими словами, при любом автоморфизме ТН корни многочлена h{x) лишь переставляются. Поэтому любой симметрический многочлен от этих корней, в частности любой коэффициент многочлена h{x), остается на месте при автоморфизме Т и, следовательно (поскольку Т-любой автоморфизм из подгруппы Я), принадлежит полю К {О, Я). Таким образом, многочлен h{x) является многочленом над полем К(О, Я). Следовательно, минимальный многочлен элемента б над полем K{G, Я) является делителем многочлена h{x), и поэтому его степень (т. е. степень числа 6 над полем К (О, Я)) меньше или равна т. Но, как мы видели выше, поле К является простым алгебраическим расширением любого промежуточного поля (и значит, в частности, поля K{G, Я)), порожденным числом б. Поэтому степень поля К над полем К {О, Я) равна степени минимального (над K{G, Я)) многочлена числа 6, т. е., по доказанному, меньше или равна т.

Рассмотрим теперь группу Галуа О (К, L) поля К над полем L~K{G, Я). Согласно п. 3, порядок этой группы равен степени поля К над полем К (О, Я) и поэтому меньше или равен т. С другой стороны, группа О (/С, L) состоит,