ПО определению, из всех автоморфизмов поля К, оставляющих на месте элементы поля L~K{G, Н) и поэтому содержит подгруппу Н. Следовательно, ее порядок не может быть меньше т.

Отсюда вытекает, что порядок группы О {К, L) равен т и потому она совпадает с подгруппой Н. Таким образом,

если L = K{Q, Н), то О (К, L) = H.

Пусть теперь L - произвольное промежуточное поле, и пусть Н=0{К, L). Рассмотрим поле К (О, Н). Очевидно, что

1<=К(0, Н). Согласно гл. 1, п. 6,

с другой стороны, по только что доказанному, степень \К:К(0, Н)] поля К над полем К (О, Н) равна порядку группы H=G{K, L), т. е. равна степени [К:Ц поля К над полем L. Следовательно, \К{0. Н):Ц = \, т. е. L = K{Q, Н). Тем самым доказано, что

если НО{К, L), то К (О, H) = L.

Мы видим, таким образом, что любому промежуточному полю L соответствует некоторая подгруппа группы О {К, Р) (именно группа G{K, L)), причем для любой подгруппы Н группы О {К, Р) существует промежуточное поле L (именно поле К{0,Н)), которому соответствует эта подгруппа, и различным промежуточным полям соответствуют различные подгруппы (потому что, если О {К, L) = О (К, Ц), то имеем Lx = K(0, 0(К. Lx)) = K{Q. 0{К, L.

Другими словами, мы построили взаимно однозначное соответствие между множеством всех промежуточных полей \i множеством всех подгрупп группы Галуа. Это соответствие называется соответствием Галуа,

Повторим еще раз, что

в соответствии Галуа промежуточному подпалю L нормального поля К соответствует группа Галуа О (К, L) поля К над полем L, а подгруппе Н группы О (К, Р) - подполе К {О, Н), состоящее из всех элементов поля К,

остающихся на месте при каждом автоморфизме из Н. Порядок группы О {К, L) равен степени поля К над полем L, а степень поля К над полем К (О, Н) равна порядку группы И.

В частности, всей группе О {К, Р) соответствует поле Р. Следовательно,

поле Р состоит из всех элементов поля К, остающихся на месте при каждом автоморфизме из группы О (К. Р).

Единичной подгруппе Е, т. е. подгруппе, состоящей только из тождественного автоморфизма Е, соответствует, очевидно, все поле К.

Соответствие Галуа позволяет теорию подполей данного нормального поля в некотором смысле «отобразить» в теорию подгрупп его группы Галуа и тем самым изучить эти подполя теоретико-групповыми методами. Например, из конечности числа подгрупп конечной группы немедленно следует, что число промежуточных подполей любого нормального поля конечно. Доказать этот факт, не пользуясь соответствием Галуа, довольно затруднительно.

Применяя соответствие Галуа, нужно всегда иметь в виду, что оно «обращает знаки включения», т. е. если подполям Ij и Z.2 поля К соответствуют подгруппы Я1 и Яг его группы Галуа, то из

вытекает, что

Я1ЗЯ2. (4)

и, наоборот, из (4) вытекает (3).

5. Теорема о сопряженных элементах

Пусть а-произвольный элемент нормального поля К. Рассмотрим элементы

ai =а, ai.....аЧ (1)

Si = E, $2.....S„

- все автоморфизмы из группы Галуа О {К, Р) поля К над полем Р. При любом автоморфизме 5 поля К над полем Р

Б. ТЕОРЕМА О СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАХ 53

числа (1) переходят в числа

т. е. подвергаются лишь некоторой перестановке. Поэтому все коэффициенты многочлена

остаются на месте при любом автоморфизме S, т. е. принадлежат полю Р.

Поскольку аа, многочлен (л:) и. минимальный многочлен f{x) элемента а имеют общий корень и,следовательно, многочлен g(x) делится на многочлен /(лг) (ибо многочлен fix) неприводим). С другой стороны, мы знаем (см. п. 2), что все числа а, .... а" (среди этих чисел, вообще говоря, могут быть одинаковые) сопряжены с числом а, т. е. являются корнями многочлена f (х). Таким образом, каждый корень многочлена g(x) является корнем многочлена f(x). Пусть

g{x)p,{x) pixf ... Piixfi

- разложение многочлена g{x) в произведение степеней различных неприводимых многочленов (имеющих старшие коэффициенты, равные единице). Так как многочлен g{x) делится на многочлен f {х) и многочлен f {х) неприводим, то многочлен f{x) должен совпадать с одним из многочленов Рх{х), .... Pi{x) (мы предполагаем, что старший коэффициент многочлена f{x) равен единице). Пусть для определенности f {х)=.рх{х), ТАК. что

g{x) = fix)P2{xf... Piixfi.

Так как все корни многочлена g{x) являются корнями многочлена f{x), а ни один из корней многочлена Рч{х), .... Pi{x) не может быть (в силу неприводимости этих многочленов) корнем многочлена f{x), то многочлены pix), .... Pix) не могут иметь корней, т. е.

Р2{х)= ... =р{х)=1.

Таким образом.

g(x) = f{x)\