Отсюда, в частности, следует, что числа ai.....ал

исчерпывают (вообще говоря, с повторениями) все числа, сопряженные с числом а. Тем самым доказано, что

элементы поля К тогда и только тогда сопряжены (над полем Р), когда существует автоморфизм поля К над полем Р, переводящий один элемент в другой.

е. Группа Галуа нормального подполя

Пусть промежуточное поле L является нормальным расширением основного поля Р. Тогда для любого элемента aZ, и любого автоморфизма SG{K, Р) элемент а также принадлежит полю L (ибо он сопряжен с а; см. п. 2). Поэтому формула

определяет некоторое преобразование S поля L в себя. Легко видеть, что преобразование S является автоморфизмом поля L над полем Р, т. е. элементом группы Галуа 0{L, Р) поля L над полем Р. (Автоморфизмы S и S действуют в поле L одинаково; различие между ними состоит в том, что автоморфизм 5 определен во всем поле К, а автоморфизм 5 -только в поле L.) Очевидно, что

(5Г) = 5Г,

т. е. что соответствие

5-»5 (1)

является гомоморфным отображением группы О {К, Р) в группу О (Z,, Р). Ядро этого отображения состоит из автоморфизмов 5, оставляющих на месте каждый элемент поля L, т. е. ядром является группа Галуа О {К, L) поля К над полем L. Так как ядро любого гомоморфизма является нормальным делителем, то, следовательно,

подгруппа группы Галуа О (К, Р), соответствующая нормальному промежуточному полю L {т. е. группа Галуа О (К, L) поля К над полем L), является нормальным делителем группы О (К, Р).

Пусть теперь L-промежуточное поле, соответствующее произвольному нормальному делителю Н группы G(K, Р), т. е. L - K{Q, Н). Так как для любого автоморфизма ТН

7. ГРУППА ГАЛУА КОМПОЗИТА ДВУХ ПОЛЕЙ 55

и любого автоморфизма S£0(K, Р) автоморфизм STS~ принадлежит Н, то для любого числа aZ,

то есть

Так как Т-произвольный автоморфизм из Н, то отсюда следует, что L. Таким образом, все элементы, сопряженные каждому элементу aZ., принадлежат L, т. е. L нормально над Р. Тем самым доказано, что

подполе К (О, Н) нормального поля К, соответствующее нормальному делителю Н группы Галуа О (К, Р) поля К над полем Р является нормальным расширением поля Р.

Таким образом,

в соответствии Галуа нормальным подполям соответствуют нормальные делители, и обратно.

Вернемся теперь к рассмотрению гомоморфизма (1). Пусть О -его образ, т. е. подгруппа группы 0{L, Р), состоящая из автоморфизмов вида 5. Согласно теореме о гомоморфизмах (см. гл. 2, п. 4), гомоморфизм (1) индуцирует изоморфное отображение факторгруппы О {К, Р)10(К, L) на группу О. Следовательно, порядок группы О равен индексу подгруппы О {К, L) в группе О (К, Р). Но этот индекс равен (почему?) степени поля L над полем Р, т. е. равен порядку группы G{L, Р). Таким образом, порядок подгруппы О равен порядку всей группы О {L, Р), откуда, следует, что Q = Q(L,P). Тем самым доказано, что отображение (1) эпиморфно.- Индуцированный им гомоморфизм является, следовательно, изоморфным отображением факторгруппы О (К, Р)/0{К, L) на группу G{L, Р). Таким образом,

группа Галуа нормального промежуточного поля L над полем Р изоморфна факторгруппе группы Галуа поля К над полем Р по группе Галуа поля К над полем L.

7. Группа Галуа композита двух полей

Пусть нормальное расширение К поля Р является композитом расширений и /Cj. В группе Галуа О (К, Р) под-полю Kl соответствует подгруппа О {К, К), а подполю К - подгруппа О {К, К<. Автоморфизмы из подгруппы О (К, К{) оставляют на месте все элементы поля /Cj, а авто-

морфизмы из подгруппы о (К, Кч) оставляют на месте все элементы поля Кч- Следовательно, любой автоморфизм из пересечения 0(,К, Ki)[\Q{K, Kj) оставляет на месте любой элемент вида

«iPiH- ••• (1)

где aj.....o-rv Pi.....Pr€2- Но, согласно гл. 1. п. 9,

элементами вида (1) исчерпываются все элементы композита К (результаты гл. I, п. 9 применимы, так как поля и конечны над Р). Следовательно, рассматриваемое пересечение содержит только тождественный автоморфизм. Таким образом, если нормальное расширение К поля Р является композитом расширений и то

0(К. К0Г\О{К, К2) = Е. (2)

Задача. Доказать обратное утверждение, т. е. доказать, что если нормальное поле К содержит подполя Ki и удовлетворяющие условию (2), то К является композитом полей Kl и

Предположим теперь, что поле /С, нормально над полем Р. Тогда его группа Галуа 0(Ki, Р) является гомоморфным образом группы Галуа О (К, Р), причем ядром соответствующего эпиморфизма является группа О (К, К{) (см. п. 6). Из формулы (2) непосредственно следует, что этот эпиморфизм на подгруппе О (К, К2) является мономорфизмом. Други#и словами, группа О(К, К2) изоморфна некоторой подгруппе группы G(k,,P). Таким образом,

если нормальное расширение К поля Р является композитом нормального расширения Кх и (вообще говоря, произвольного) расширения К2, то группа Галуа О (К, К2) изоморфна некоторой подгруппе группы 0{Ki, Р).