п. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ

ГЛАВА 1

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ГРУПП

1. Обобщение теоремы о гомоморфизмах

Пусть ср: О -> О - произвольный гомоморфизм и Я - некоторая подгруппа группы О. Рассмотрим совокупность Я всех элементов группы О, переходящих при гомоморфизме ср в элементы подгруппы Я. Таким образом, g Я тогда и только тогда, когда <р(§)Я.

Очевидно, что подмножество Я является подгруппой группы О. Эта подгруппа обозначается через ср~(Я) и называется полным прообразом подгруппы Я при гомоморфизме ср. В этой терминологии ядро гомоморфизма ср есть не что иное, как полный прообраз единицы е группы О.

Легко видеть, что полный прообраз Я = ср~>(Я) нормального делителя Н группы О является нормальным делителем группы О (доказать!). Так как ср(Я)с:Я, то определен индуцированный гомоморфизм

9: 0/Н->0/Н.

Без труда проверяется (см. ч. I, гл. 2, п. 4, где разобран случай Я = е), что гомоморфизм ср является мономорфизмом. Таким образом,

для любого гомоморфизма ср: 0-0 и любого нормального делителя НаО индуцированный гомоморфизм

где Я=ср~(Я), является мономорфизмом; если отображение ср эпиморфно, то отображение ср изоморфно.

Если Я = е, то это предложение сводится к доказанной ранее теореме о гомоморфизмах.

Задача. Доказать, что

1) подгруппа Я группы О тогда и только тогда является полным прообразом некоторой подгруппы группы О при гомоморфизме ср: 0->0, когда

Кегср с Я;

2) если КегсрсЯ, и КегсрсЯа, то ср (Я1) = ср (Яг) тогда и только тогда, когда HH;

3) если гомоморфизм ср является эпиморфизмом, то ср~1 {Н\) - ср"> (Яг) тогда и только тогда, когда Н\ = Н.

Вывести отсюда, что эпиморфизм ср: 0-0 определяет некоторое взаимно однозначное соответствие между множеством всех подгрупп группы О и множеством тех подгрупп группы О, которые содержат ядро эпиморфизма ср.

2. Нормальные ряды

Пусть О - произвольная группа и Oj, 0 - некоторые ее подгруппы, из которых вторая является погруппой первой:

Цепочка вложенных друг в друга подгрупп

01 = Яо=зЯ1=) ... =)Я ,=)Я=) ... =)Я = 02. (1)

начинающаяся с подгруппы 0 и кончающаяся подгруппой Oj,

называется нормальным рядом, если для любого 1.....s

подгруппа Hi является нормальным делителем подгруппы Я, 1 (нормальным делителем по всей группе О подгруппа Я, может и не быть). Соответствующие факторгруппы Hi JHi называются факторами нормального ряда (1).

Подчеркнем, что мы, вообще говоря, не требуем, чтобы нормальный ряд (1) не содержал повторений: вполне может быть, что для некоторого / подгруппа Я совпадает с подгруппой Я, 1. Конечно, при желании можно из нормальных рядов удалять все повторяющиеся группы.

2. НОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 59

Особое значение имеют нормальные ряды

0 = Но=>Нх=) ... Hi i=>Hi=} ... =>Н, = е, (2)

начинающиеся с группы О и кончающиеся единичной подгруппой е. Такие нормальные ряды мы будем называть нормальными рядами группы О. Очевидно, что если группа О конечна, то для любого ее нормального ряда (2) все факторы HiiJHi также конечны и

п = щп2...п,, (3)

где п - порядок группы О, а л, =1.....s -порядок

группы Hi ilHi. Обратно, если группа О обладает нормальным рядом с конечными факторами, то сама группа О также конечна и ее порядок п выражается через порядки

«1.....п факторов нормального ряда согласно формуле (3).

Пусть теперь ср: 0-0 - произвольный гомоморфизм. Очевидно, что если подгруппа группы О содержится в подгруппе Ну

то подгруппа <fifi группы С содержится в подгруппе срСЯ): ср(Я,)=ср(Я2).

Кроме того, если подгруппа Я2 является нормальным делителем в подгруппе Ну то подгруппа срСЯг) является нормальным делителем в подгруппе ср(Я1) (доказать!). Следовательно, для любого нормального ряда

01 = Ho=>H,z ... z>Hi iZHi=i ... =)Я, = (4) цепочка

ср(01) = <р(Яо)=)ср(Я1)=) ...

... зср(Яг 1)зср(Я,)з ... эср(Я,) = ср(02) (5)

является нормальным рядом. Если, в частности, 0 = 0 и (т. е. если ряд (4) является нормальным рядом группы О), а отображение ср эпиморфно, то cp(Oi) = 0 и ср(02)=.е (т. е. ряд (5) будет нормальным рядом группы О), Таким образом,

произвольный эпиморфизм ср: 0-0 переводит любой нормальный ряд

(7 = Яр=)Яр =)Я; 1=)Яр ... =)Я, = е (6)