группы о 8 некоторый нормальный ряд

0 = <р(Яо)=><р(Я1)з ...

(Я 1)э (Я,)э ... э(р (Я,) = е (7)

группы О.

Заметим, что для любого /=1, .... 5 эпиморфизм ер индуцирует некоторый эпиморфизм

(ибо условия, при которых определен индуцированный гомоморфизм, очевидно, здесь выполнены). Следовательно,

факторы ряда (7) являются гомоморфными образами факторов ряда (6).

Пусть опять <р: О-*О - произвольный гомоморфизм. Очевидно, что если подгруппа Яг группы О содержится в подгруппе Я]: ,

Я13Я2,

то подгруппа <р~>(Я2) группы О содержится в подгруппе <р-(Я1):

Кроме того, если подгруппа Яг является нормальным делителем в подгруппе Н[, то подгруппа (р~(Н является нормальным делителем в подгруппе <p~(ЯJ). Следовательно, для любого нормального ряда

о1 = ЯозЯ1з ... зЯ/ 1зЯ1з ... зЯ = 02 (8)

цепочка

ср-(о;) = г1(я;)з-1(я;)з...

... з-1(я; ,)згч;)= ••• =гч;) = гч03 ()

также является нормальным рядом. Если, в частности,- 0\ = 0 к 02 = е (т. е. .если ряд (8) является нормальным рядом группы О), а отображение <р мономорфно, то i:p~(Oj) = 0 и <р~(02) = е (т. е. ряд (9) является нормальным рядом группы О). Таким образом,

2. НОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 61

при каждом мономорфизме <р: 0->0 любому нормальному ряду

0 = HliZ2H[=> ... ... =>Н, = е (10)

группы О соответствует некоторый нормальный ряд

... =,<р-(я; ,)з9-1(я;)з ... 3-1 (я) = . (11)

группы О.

Заметим, что для любого /=1.....s мономорфизм tp

индуцирует некоторый мономорфизм

Следовательно,

факторы ряда (И) изоморфны подгруппам факторов ряда (10).

Пусть теперь О - произвольная группа и

0 = HoZiHiZ> ... z>Hi i=>Hi=> ... =>Н, = е (12)

- некоторый ее нормальный ряд. Предположим, что для

любого t-l.....SB соответствующей факторгруппе Hi iJHi

задан нормальный ряд

H,JHi = KioKn=> ... 3 Kij iZ>KijZ> ... :Kt=e. (13) Рассмотрим естественный эпиморфизм

(определенный формулой (pi(h) = Hih). При этом эпиморфизме ряду (13) соответствует нормальный ряд

Вставив для каждого /=1.....s между членами Я ,

и Hi ряда (12) ряд (14), мы, очевидно, снова получим нормальный ряд группы О. Этот нормальный ряд называется уплотнением ряда (12) с помощью рядов (IS).

3. Циклические группы

Группа О называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного и того же элемента gQ. Этот элемент g называется образующей циклической группы О. Любая циклическая группа, очевидно, абелева. .

Циклической группой является, например, группа целых чисел ПО сложению. Эту группу мы будем обозначать символом 2. Ее образующей является число 1 (а также число - 1). Циклической группой является также группа, состоящая только из одного элемента (единицы).

В произвольной группе О степени g" любого элемента g составляют циклическую подгруппу с образующей g. Порядок этой подгруппы, очевидно, совпадает с порядком элемента g. Отсюда в силу теоремы Лагранжа (см. стр. 32) следует, что порядок любого элемента группы делит

Любой фактор этого ряда имеет вид

И потому, согласно обобщенной теореме о гомоморфизмах (см. п. 1), изоморфен факторгруппе

Таким образом,

факторы уплотненного ряда изоморфны факторам уплотняющих рядов (13).

Так как любая непростая группа обладает нетривиаль-ными (т. е. содержащими нетривиальные подгруппы) нормальными рядами, то любой нормальный ряд, имеющий хотя бы один непростой фактор, обладает нетривиальными (т. е., не сводящимися к повторениям) уплотнениями. Наоборот, если все факторы нормального ряда являются простыми группами, то все уплотнения этого нормального ряда сводятся к повторениям.

В заключение обратим внимание на определенный параллелизм между доказанными в этом пункте теоремами, относящимися к эпиморфизмам, и теоремами, относящимися к мономорфизмам. Весьма глубокие основания этого параллелизма мы здесь выяснять не можем.