Это простое замечание часто бывает полезно. Заметим, далее, что

конечная группа О порядка п тогда и только тогда является циклической группой, когда она обладает элементом порядка п. Этот элемент является образующей.

Действительно, если группа О циклическая и g - ее образующая, то порядок элемента g равен п. Обратно, если группа О обладает элементом порядка п, то среди степеней этого элемента имеется п различных, и поэтому эти степени исчерпывают всю группу О.

Мы видим, таким образом, что циклическая группа может иметь несколько различных образующих (именно, любой элемент порядка п является образующей).

Задача. Доказать, что любая группа простого порядка является циклической группой.

Задача, Доказать, что циклическая группа порядка л имеет ровно <р(«) образующих, где <р(«) - число положительных чисел, меньших п и взаимно простых с п.

Наряду с порядком любой конечной группе можно отнести число п - наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Задача. Доказать, что для любой конечной группы О число л делит порядок группы.

Очевидно, что для циклической группы число п совпадает с порядком. Обратное, вообще говоря, не верно. Тем не менее имеет место следующее утверждение, характеризующее циклические группы в классе конечных абелевых групп:

конечная абелева группа О, для которой число п равно ее порядку п, является циклической группой. Действительно, пусть

ту т, .... гПп-\ (1)

порядок группы (заметим, что все элементы конечной группы являются элементами конечного порядка). Поэтому

для любого элемента g конечной группы порядка п имеет место равенство

- порядки всевозможных отличных ОТ единицы элементов конечной абелевой группы О порядка п., и пусть п - их наименьшее общее кратное. Разложим число п в произведение степеней различных простых чисел:

Пусть /= 1, 2.....S. Поскольку число п является, по определению, наименьшим общим кратным чисел (1), среди этих чисел существует хотя бы одно число, делящееся точно на pi, т. е. имеющее "вид Ьрр, где b взаимно просто с р". Пусть это число является порядком элемента g. Тогда элемент g имеет порядок р" (см. следствие 1) на стр. 29).

Таким образом, для любого /-1, 2..... s в группе О

существует хотя бы один элемент порядка Выбрав для

каждого /=1, 2..... S один такой элемент, рассмотрим

их произведение. Согласно утверждению, доказанному на стр. 29-30, порядок этого произведения равен произведению порядков р°1, т. е. равен числу п. Поскольку .последнее число по условию равно п, тем самым доказано, что в группе О существует элемент порядка п. Следовательно, эта группа является циклической группой.

Пусть теперь О - произвольная циклическая группа с образующей g и Н - некоторая ее подгруппа. Так как любой элемент подгруппы Н является элементом группы О, то его можно представить в виде g, где d - некоторое положительное или отрицательное целое число (вообще говоря, определенное неоднозначно). Рассмотрим множество всех положительных чисел • d, для которых элемент g принадлежит подгруппе Н. Так как это множество непусто (почему?), то в нем существует наименьшее число d,. Оказывается, что любой элемент h подгруппы Н является степенью элемента g. Действительно, по определению, существует такое число d, что h = g (число d может быть и отрицательным). Разделим (с остатком) число d на число d:

d = d~\-r. 0<r<do.

Так как g = (о°) " "" минимальности числа do остаток г должен быть равен нулю. Таким образом.

dTzdq и h - (gy. Тем самым доказано, что элемент

япляется образующей группы Н, т. е. что группа Н цик-лична. Итак,

любая подгруппа циклической группы является циклической группой.

Задача. Доказать, что число d равно индексу подгруппы Н и, следовательно, делит порядок группы О (если группа О конечна).

Заметим еще, что

для любого делителя т порядка п конечной циклической группы О в группе О существует одна и только одна подгруппа Н порядка т (а именно подгруппа с образующей gl"y

Отсюда вытекает, что

если конечная циклическая группа проста, то ее порядок является простым числом (или единицей). Отметим наконец, что

любая факторгруппа Q/H (и, следовательно, любой гомоморфный образ) циклической группы О является циклической группой.

Для доказательства достаточно заметить, что образующей группы О/Н служит смежный класс HgQ, содержащий образующую gQ группы О.

В частности, любая факторгруппа группы целых чисел Z япляется циклической группой. Изучим эти циклические группы более подробно.

Так как группа Z абелева, то любая ее подгруппа Н является нормальным делителем. С другой стороны, согласно доказанному выше, подгруппа Н является циклической группой. Так как факторгруппы по тривиальным подгруппам нам известны, то мы можем считать подгруппу нетривиальной. Пусть число п является образующей подгруппы Н. Мы можем считать это число положительным (почему?) и, следовательно, большим единицы.

Подгруппа Н состоит. Очевидно, из всех целых чисел, делящихся на п. Поэтому два числа тогда и только тогда принадлежат одному смежному классу по подгруппе И, когда их разность делится на п, т. е. когда они сравнимы по модулю п (см. Курс, стр. 277). Таким образом, смежные классы по подгруппе Н суть не что иное, как классы чисел,

3 Зак 160. М. М. Постников