сравнимых между собой по модулю п. Другими словами, факторгруппа группы Z по подгруппе Н является группой (по слонсению) классов чисел, сравнимых между собой по модулю п. Мы будем эту группу обозначать через Z„. Ее образующей является класс, содержащий число 1. Оказывается, что

любая циклическая гругта О Ф е изоморфна либо группе Z {если она бесконечна), либо одной из групп Z„ {если ее порядок конечен).

Действительно, пусть gQ - образующая группы О. Определим отображение <р группы 2 в группу О, полагая

(a) = g°, aZ.

Из правил действий над степенями следует, что для любых чисел а, bZ имеет место равенство

<р(оЧ-*) = <р(о)ср(*),

т. е. отображение ср гомоморфно. Его образ ср(2) состоит из всех элементов группы О, являющихся степенями элемента go- т. е. совпадает с группой О. Таким образом, группа О является гомоморфным образом группы 2 и, следовательно, изоморфна некоторой ее факторгруппе, т. е. либо самой группе О, либо одной из групп 2„ (мы предполагаем, что группа О не состоит только из единицы). Какой из групп 2„ изоморфна группа О, однозначно определяется тем, что изоморфные группы должны иметь одинаковый порядок.

Тем самым строение циклических групп полностью описано.

Важный пример циклических групп получается на основании следующих соображений.

Пусть « - произвольное целое положительное число. Как известно (см. Курс, стр. 127), существует точно п различных корней

«0=1. h.....

степени п из единицы:

б«= 1, ; = 0, 1.....п-\.

Произведение любых двух корней степени п из единицы и число, обратное к корню степени п из единицы, очевидно,

4. разрешимые и абелевы ГРУППЫ 67

также являются корнями степени п из единицы. Следовательно, совокупность всех корней степени п из единицы является группой порядка п.

Известно (см. Курс, стр. 129), что любой корень степени п из единицы является степенью так называемого первообразного корня. Следовательно, группа всех корней степени п из единицы является циклической группой порядка п. Ее образующими служат первообразные корни и только они.

Задача. Построить изоморфное отображение группы корней степени п из единицы на группу Z„.

4. Разрешимые и абелевы группы

Нормальный ряд

0 = o3 i3 ... ... з , = е (1)

группы о называется разрешимым рядом, если для любого

/=1..... S факторгруппа Hi i/Hi является циклической

группой. Конечная группа, обладающая хотя бы одним разрешимым рядом, называется разрешимой; группа, не имеющая разрешимых рядов, называется неразрешимой. Примером разрешимой группы может, очевидно, служить любая конечная циклическая группа (разрешимый ряд состоит из группы О и единичной подгруппы е). Неразрешимой группой является, например, любая простая группа, если только она не является циклической (т. е. если ее порядок не является простым числом). Примеры таких групп будут построены ниже в главе 2. .

Очевидно, что любое уплотнение разрешимого ряда также является разрешимым рядом (ибо как подгруппы, так и факторгруппы циклических групп являются циклическими группами). С другой стороны, любой нормальный ряд конечной группы может быть уплотнен до ряда с простыми факторами. Следовательно,

любая разрешимая группа обладает нормальным рядом, факторами которого служат циклические группы простых порядков (являющиеся делителями порядка группы).

Как мы знаем, любой эпиморфизм <р: 0-0 переводит нормальный ряд (1) группы О в некоторый нормальный ряд

группы О, факторы которого являются гомоморфными образами факторов ряда (1). Так как гомоморфный образ циклической группы является циклической группой, то, следовательно, любой эпиморфизм <р: 0->0 переводит разрешимый ряд группы О в разрешимый ряд группы О. Таким образом,

любой гомоморфный образ разрешимой группы является разрешимой группой.

Пусть И- произвольная подгруппа разрешимой группы О. Определим отображение <р группы Н в группу О, полагая

(отображение <р есть тождественное отображение группы Н, рассматриваемое как отображение в ббльшую группу О). Отображение <р является, очевидно, мономорфизмом. Следовательно, нормальному ряду (1) группы О в подгруппе Н соответствует некоторый нормальный ряд (составленный из подгрупп {Hi) = Hi(] Н), факторы которого изоморфны подгруппам факторов ряда (1). Так как любая подгруппа циклической группы является циклической группой, то отсюда следует, что

любая подгруппа разрешимой группы является разрешимой группой.

Из изложенного доказательства вытекает, что если разрешимая группа обладает разрешимым рядом длины s (т. е. рядом, состоящим из S-1 членов), то и любая ее подгруппа также обладает разрешимым рядом длины s (напомним, что мы допускаем разрешимые ряды с повторениями).

Из доказанных двух теорем непосредственно вытекает, что

все факторы любого нормального ряда разрешимой группы являются разрешимыми группами.

Оказывается, что верно и обратное утверждение:

группа О, обладающая нормальным рядом с разрешимыми факторами, является разрешимой группой.

Действительно, пусть

0 = ЯоЗ ,=) ... =) 1=) ,=) ...=)Я, = в (1)

- нормальный ряд группы О с разрешимыми факторами Hi i/Hi. По определению, факторгруппа Hi-lHi для любого

i-\.....S обладает некоторым разрешимым рядом

Iii-ilHi = KioKnZ2 Ку х=>Ку ... Kit = e. (2)