4. АЛГЕБРАИЧНОСТЬ КОНЕЧНЫХ РАСШИРЕНИЙ 15

элемента Р(а) существуют такие элементы Ь, .....6„ i Р

(коэффициенты многочлена г{х)), что

p = 6o + 6ia-- .:. -bVi"-- (1)

Так как разность г{х)--г-{х), где г{х) и rix) - многочлены степени, меньшей п, делится на многочлен f {х) степени п только тогда, когда г{х) = г-{х), то это представление однозначно. Таким образом, любой элемент р поля Р(а) однозначно записывается в виде (1). Другими словами,

элементы

1, а.....а"-1

образуют базис поля Р{о.) над полем Р. Следовательно,

простое алгебраическое расширение Р(а) является конечным расширением и его степень [Р (а): Р\ равна степени числа а.

Таким образом, класс расширений типа 4° содержится в классе расширений типа 1°.

4. Алгебраичность конечных расширений

Пусть р - произвольный элемент конечного расширения К поля Р, и пусть [К:Р] = п. Так как в и-мерном линейном пространстве любые и-(- 1 векторов линейно зависимы, то, в частности, элементы

1. Р.....Г

линейно зависимы над полем Р, т. е. в Р существуют такие числа Cf), Cl, с„, среди которых хотя бы одно неравно нулю, что

Со + с,р+ ... +„ = 0. Это означает, что число р служит корнем многочлена Co--CiX-j- ... +c„Jf"

и, следовательно, является алгебраическим (над полем Р)

числом. Тем самым доказано, что

любое конечное расширение алгебраично,

т. е. класс расширений типа 1° содержится в классе

расширений типа 5°.

Следовательно,

Кс:Р(а,.....а„).

К = Р(<х,.....а„).

Таким образом,

любое конечное расширение является алгебраически порожденным.

Другими словами, класс расширений типа 1° содержится в классе расширений типа 2°.

5. Строение составных алгебраических расширений

Пусть /С = Я (aj)... (а) - составное алгебраическое расширение поля Я. Оказывается, что любой элемент поля К выражается в виде многочлена (над Я) от а,, aj, .... а, т. е. для любого элемента РК существует над полем

Я такой многочлен gix.....л:) от s неизвестных

х.....д:, что

P==g(ai.....S)-

Мы докажем это утверждение индукцией по s. Если s=l, то К=Р{а-{), и, следовательно, в этом случае теорема справедлива (см. п. 3). Предполагая теперь, что теорема уже доказана для поля L - P{(t.{)...{a {), рассмотрим произвольный элемент Р/С. Так как K=L{a.), тр

Кроме ТОГО, мы получаем, что

степень над полем Р любого элемента конечного расширения К поля Р не превосходит степени п этого расширения.

Пусть теперь а, ..., а„ - базис поля К над полем Р. Так как числа а,.....а„ являются, по доказанному, алгебраическими числами (над Я), то порожденное ими расширение Я (а;..... а„) является алгебраически порожденным

расширением. В силу минимальности этого расширения оно содержится в поле К-

Я(а1.....aJcAT.

С другой стороны, так как из а, .... aPia. .... а„)

следует, что Ьа- ... Ч-6„а„Я(а1.....а„) для любых

чисел 6,.....*л6> то любой элемент поля К" содержится

в поле Р(а.1.....а„), т. е.

5. (ТРОЕНИЕ СОСТАВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ РАСШИРЕНИЙ 17

над полбм L существует такой многочлен h{x), что р =s А(а,). Пусть

Л(-«) = То + Т1-+---+Тя-«". где fo. fl.....„L.

По предположению индукции для любого / = 0, 1..... я

найдется такой многочлен A,(a:i.....a; i) от s -1 неизвестных, что

Т/==ЛДа1.....a, i).

Следовательно, полагая

SiXi.....л:)=:Ло(д:1, a: i)-f

H-Ai(Xi.....х, {)х, ...+h{Xi.....x, i)x1.

мы получим, что

p = g-(ai, :...

Тем самым наше утверждение полностью доказано.

Рассмотрим теперь произвольное алгебраически порожденное расширение P(ai.....а) поля Р и определим по

индукции поля Lg, Z-i.....L, полагая

L = P, Li = Lo(a{).....Z., = L, i(a;).....=

Так как для любого /=1.....5 число а,, алгебраическое

над полем Р, алгебраично и над его расширением Z,, i, то поле Ll является простым алгебраическим расширением поля Li i и, следовательно, поле -составным алгебраическим расширением P(ai)...(ap поля Р. Поэтому, согласно только что доказанному утверждению, любой элемент поля выражается в виде многочлена (над Р) от aj, .... и, следовательно, принадлежит полю Р (aj.....а). Иначе говоря,

iC:P(ai.....а).

поле Z,j содержит i ости расширения Р

Я(а1.....a.)<=Ls-

С другой стороны, поле содержит все числа а., и, в силу минимальности расширения Pia, .... а),

Следовательно,

Р{Ь.....a.) = (ai)...K).

Ибо L, = P(a)..,(a,).