Уплотним ряд (1) С ПОМОЩЬЮ рядов (2). Как мы знаем, факторы уплотненного ряда изоморфны факторам ряда (2) и, следовательно, являются циклическими группами. Другими словами, уплотненный ряд разрешим. Таким образом, группа О обладает разрешимым рядом, т. е. является разрешимой группой.

Частным случаем доказанной теоремы является следующее утверждение:

если группа О обладает разрешимым нормальным делителем Н, факторгруппа О/Н по которому разре-шима, то и сама группа О также разрешима.

Действительно, условие, наложенное на группу О, означает, что она обладает нормальным рядом

0=>H:De

с разрешимыми факторами. Следовательно, по только что доказанной теореме группа О разрешима.

Это предложение позволяет доказать следующее утверждение, существенно расширяющее запас известных нам примеров разрешимых групп:

любая конечная абелева группа О разрешима.

Доказательство мы проведем индукцией по порядку п группы О. Если « = 1, то группа О состоит только из единицы е и, следовательно, разрешима. Предположим, что уже доказана разрешимость любой конечной абелевой группы, имеющей порядок меньший, чем п, и рассмотрим произвольную абелеву группу О порядка п.

Пусть. - произвольный отличный от единицы элемент группы О. Так как g Ф е, то циклическая подгруппа Н группы О с образующей g имеет порядок, больший еди-ницы, и следовательно, порядок факторгруппы QjH меньше п (факторгруппу строить можно, ибо в абелевой группе любая подгруппа является нормальным делителем). Так как любая факторгруппа абелевой группы является абелевой группой (доказать!), то, следовательно, по предположению индукции, группа G/H разрешима. Таким образом, в группе О имеется разрешимый (даже циклический) нормальный делитель И, факторгруппа О/Н по которому разрешима. Следовательно, по доказанной выше теореме группа О разре-11.1ИМ8

б. Группы Zn и Шп

Пусть п - произвольное целое положительное число. Рассмотрим множество Z„ всех классов чисел, сравнимых между собой по модулю я. Класс, содержащий число а, мы будем обозначать через \а\ (в Курсе, стр. 227, этот класс обозначался через Сд). В множестве Z„, кроме сложения (относительно которого оно является, как мы знаем, циклической группой), можно определить также и умножение. Как и сложение, умножение классов сравнимых между собой чисел определяется по представителям:

Ifl] Щ = \аЬ\

Это умножение, очевидно, коммутативно и ассоциативно. Кроме того, оно обладает единицей (именно единицей этого умножения служит класс [1], содержащий число 1). Однако относительно этого умножения множество Z„ группой не является, потому что, например, нулевой класс [0] (состоящий из чисел, делящихся на я) не имеет обратного. Выясним, какие классы имеют обратные.

Пусть [а] - произвольный класс по модулю я, для которого существует обратный класс, т. е. такой класс (&], что

1а][6] = (1].

Тогда число аЬ-1 делится на я, т. е. существует такое целое число k, что

аЬ-{-Ы- 1.

Очевидно, что это равенство возможно только тогда, когда числа а ж Ь взаимно просты с числом я. Таким образом, если для класса \а\ существует обратный класс, то число а взаимно просто с числом я.

Оказывается верно и обратное, так что

класс [й] тогда и только тогда имеет обратный, когда число а взаимно просто с числом я.

Докажем предварительно следующую лемму.

Лемма. Для любых целых чисел а и Ь существуют такие целые числа и и v, кто

au-\-bv = d,

d - наибольший общий делитель чисел а ц I},

Для доказательства мы рассмотрим все числа, которые можно представить в виде

ах-\-Ьу,

где X и у - произвольные целые числа (положительные или отрицательные). Пусть d - наименьшее из всех положительных чисел такого вида:

d = au-\-bv. (1)

Разделим (с остатком) число а на число d:

fl = d? + r. 0<r<d. (2)

Из формул (1) и (2) вытекает, что

г = й(1-qu)-\-b(-qv).

Отсюда в силу минимальности числа d следует, что г = 0, т. е. что а делится на d. Аналогично доказывается, что b делится на d. С другой стороны, ясно, что любой общий делитель чисел а к b делит число d. Следовательно, d является наибольшим общим делителем чисел а н Ь. Лемма полностью доказана.

Согласно этой лемме, если число а взаимно просто с числом п, то существуют такие целые числа и н v, что

au-\-nv=l.

Переходя в этом равенстве к классам и учитывая, что [nv]~[0\, мы получим, что

[а] [«] = [!].

Таким образом, класс [и] обратен к классу [а]. Тем самым сформулированная выше теорема полностью доказана.

Из этой теоремы немедленно вытекает, что совокупность всех классов по модулю я, состоящих из взаимно простых с я чисел, является группой относительно умножения (очевидно, абелевой). Эта группа обозначается через и называется мультипликативной группой классов по модулю я. Ее порядок равен числу <р(я) всех положительных чисел, меньших я и взаимно простых с я.

Можно показать, что если, например, число я делится на два нечетных простых числа, то группа Z не циклична.