Этот факт нам не понадобится, и мы его оставим без доказательства. Случай п = р" мы изучим позже (ч. Ill, гл. 3,п. 4).

Рассмотрим теперь множество всех пар вида (а, Ь), где а и b - целые числа, причем число а взаимно просто с числом я. Разобьем это множество на классы, относя к одному классу пары (а, Ь) и (Oj, Z>j) тогда и только тогда, когда число а сравнимо с числом а, по модулю я, а число b сравнимо с числом Z>i по модулю п. Класс, содержащий пару (а, Ь), мы будем обозначать через [а, Ь], а множество всех классов - через М„.

Определим в множестве М„ алгебраическую операцию («умножение»), положив

[а, Ь][с, d] = [flc, bc-\-d].

Без труда проверяется, что эта формула действительно определяет в множестве Ж„ однозначную операцию, т. е. если [а, Z»] = [fli, bi\ и [с. d\ = [ci, dj, то [ас, bc-\-d]== = (aiCi, ujCi-f-di].

Легко видеть, что относительно так определенного умножения множество М„ является группой. Единицей этой группы служит класс (1, 0], а обратный элемент определяется формулой

[а, ЬГ = 1а, аЬ],

где а - такое число, что

(а](й] = (1] (в группе Z).

Группа М„ как легко видеть, неабелева (если л > 2). Например,

(1. 2] [а, 01 = [а, 2а]. [а, 0](1, 2] = (й, 21.

Задача. Доказать, что порядок группы М„ равен я<р(ге).

Непосредственно из определения группы М„ вытекает, что отображение vl>: AI„->Zn, определенное (как легко видеть, однозначно) формулой

if[a,b\ = [a],

является гомоморфизмом. Это отображение, очевидно, эпиморфно, и потому группа Z„ изоморфна факторгруппе MJN„ группы М„ по ядру Л„ отображения tji.

5. группы Z и М„ 73

Ядро Nn состоит, очевидно, из элементов вида (I, Ь\. Так как

(1, Z>i] = [l. ft + M.

то, сопоставив классу \\,Ь\ класс [Z>], мы получим изоморфное отображение группы N на группу Z„. Следовательно, ядро Л„ является циклическим нормальным делителем группы Ж„. Факторгруппа группы Ж„ по ядру Л„ изоморфна, как мы видели, группе и потому является абелевой и, следовательно, разрешимой группой. Таким образом, группа обладает разрешимым (даже циклическим) нормальным делителем, факторгруппа по которому разрешима (даже абелева). Следовательно, группа Ж„ также разрешима.

ГЛАВА 2

УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ 1. Простые радикальные расширения

Простим, радикальным расширением поляР называется поле разложения К двучленного уравнения вида

jc" -а = 0. где а Р. а =?fcO. (1)

Как известно (см. Курс. стр. 128), все корни уравнения (1) получаются из одного умножением на корни степени я из единицы. Но любой корень степени л из единицы является степенью первообразного корня. Таким образом, если 9 - произвольный корень уравнения (1), а С - некоторый первообразный корень степени я из единицы, то числа

9 = 9С°, 9С.....9С"" (2)

исчерпывают все корни уравнения (1). Следовательно, поле Р(С, 9) содержит все корни уравнения (1), и потому

/СсРСС 9).

С другой стороны, поле К содержит числа 9 и 9С и потому содержит числа 9 и С = 9С/9. Следовательно,

Р(С, В)(=К.

Таким образом,

К = Р{. 9).

Может случиться, что поле Р уже содержит корень С. В этом случае простое радикальное расширение К имеет вид Р(9). Другой крайний случай возникает тогда, когда а=1. В этом случае в качестве корня 9 мы можем принять число 1, откуда следует, что К = Р(). (Заметим, что уравнение (1) неприводимым не предполагается.)