Тогда

то есть

е5=с*8. б«=с*е. ссч с*=с*..

Так как С - первообразный корень степени я из единицы, то эти равенства возможны тогда и только тогда, когда

Являясь полем разложения, поле K~PiS-, б) нормально, и поэтому мы можем говорить о его группе Галуа О {К, Р).

Пусть 5 -произвольный автоморфизм из группы Галуа О (К, Р). Так как число С является корнем многочлена х"-1. то число также будет корнем этого многочлена (см. ч. I, гл. 3, п. 2). Следовательно, найдется такое число а, что

Если бы число С" было корнем многочлена л:*"-1, где /м < я, то И число !; = (!;")>s~ также было бы корнем многочлена х"-1, т. е. было бы корнем из единицы степени т <Сп. Но это невозможно, так как по условию число С является первообразным корнем степени я из единицы. Следовательно, число С" не может быть корнем из единицы степени т, меньшей л, т. е. является первообразным корнем степени л. Поэтому число а взаимно просто с числом л (см. Курс. стр. 129).

Далее, так как число б является корнем уравнения (1), то и число также будет корнем уравнения (1), т. е, найдется такое число Ь, что

85 = С* 8. (4)

Таким образом, каждому автоморфизму SO(K, Р) соответствует пара чисел а ч Ь, причем число а взаимно просто с числом я. Это соответствие не однозначно, ибо, например, пара (Oj, Z>i), где числа и bi отличаются от чисел а к b на, число, кратное я, также соответствует тому же автоморфизму 5. Разберем этот вопрос подробнее.

Пусть пары (а, Ь) и (а,, Ь{) соответствуют одному и тому же автоморфизму 5, т. е. пусть

разности й - aKb - bi делятся на п, т. е. когда числа а и b сравнимы по модулю я соответственно с числами и ftj. Другими словами, пары (а, Ь) и (а bi) тогда и только тогда соответствуют одному и тому же автоморфизму SQ(K. Р). когда эти пары принадлежат одному классу в смысле гл. 1, п. 5, т. е. определяют один и тот же элемент [а, Ь] группы М„. Таким образом, если мы каждому автоморфизму 5 из группы Галуа О (К, Р) отнесем элемент [а, Ь\ группы Ж„, где числа а к b определяются из формул (3) и (4), то мы получим однозначное отображение группы О {К, Р) в группу Ж„. Мы будем обозначать это отображение буквой <р:

{S)=[a,b\.

Оказывается, что отображение <р гомоморфно. Действительно, если <р(5)=[а, Ь] и <р(7) = [с, d\, т. е. если

Таким образом,

ср (57-) = [ас, bc + d].

то есть

ср(5Г) = ср(5)ср(7).

Найдем ядро гомоморфизма ср. Если автоморфизм SQ{K, Р) принадлежит ядру гомоморфизма ср, то

С5=!;, 65 = 6,

т. е. автоморфизм 5 оставляет на месте элементы С и 6. Следовательно, автоморфизм 5 оставляет на месте и любой многочлен (с коэффициентами из Р) от элементов С и 6. Поэтому, поскольку любой элемент поля K = P(f„ 6) выражается в виде многочлена от С и б, автоморфизм 5 оставляет на месте любой элемент поля К, т. е. S = E. Таким образом, ядро гомоморфизма ср состоит только из тождественного автоморфизма Е, т. е. ср является мономорфизмом. Другими словами, ср осуществляет изоморфное отображение

группы о (К, Р) на некоторую подгруппу группы М„. Так как группа М„ (а потому и любая ее подгруппа) разрешима, то отсюда вытекает, что

группа Галуа простого радикального расширения является разрешимой группой.

Если СР, т. е. если К = Рф), то образ мономорфизма ср содержится, очевидно, в подгруппе Л„ группы М„, состоящей из элементов вида (1, Ь]. Так как эта подгруппа изоморфна группе Z„, то отсюда следует, что

если СР, то группа Галуа простого радикального расширения К - Р(Ь) является циклической группой, порядок которой делит число п.

В «противоположном» случае, когда а=1, т. е. когда К - Р{(.) и 6 = 1, образ мономорфизма ср содержится в подгруппе группы М„, состоящей из всех элементов вида [а, 0]. Так как эта подгруппа изоморфна, очевидно, группе Z„, то отсюда следует, что

группа Галуа простого радикального расширения К = Р{(.) поля Р. где С - первообразный корень степени п

из единицы, изоморфна некоторой подгруппе группы 2„ и потому абелева.

2. Циклические расширения

Нормальное расширение К поля Р называется циклическим расширением, если его группа Галуа G(K, Р) является циклической группой. Примером циклического расширения может служить простое радикальное расширение, определяемое двучленным уравнением степени п, при условии, что основное поле Р содержит первообразный корень степени п из единицы (см. п. 1). Степень т этого расширения, вообще говоря, меньше я. Равенство т = п имеет место тогда и только тогда, когда уравнение (1) из п. 1, определяющее данное простое радикальное расширение, неприводимо.

Целью этого пункта является доказательство следующего «обратного» утверждения.

Если поле Р содержит первообразный корень степени п из единицы, то любое его циклическое расширение К степени п является простым радикальным расширением, которое определяется неприводимым двучленным уравнением степени п.