Доказательству этого утверждения мы предпошлем несколько предварительных замечаний.

Пусть С - первообразный корень степени я из единицы, а 5 - некоторая образующая группы О (К, Р) (эта группа, по предположению, циклична, т. е. ее элементы исчерпываются степенями = E,S.....S"-). Любому элементу а

поля К отнесем элемент

(е, a) = a + CV + CVV ... +!;<«-"а*"".

т. е. элемент

(С. а)=2№*,

ft=0

где t - некоторое целое число. Элемент (С, а) мы будем называть резольвентой Лагранжа элемента а, соответствующей числу t.

В первую очередь мы рассмотрим резольвенту

(С. a) = a + Ca + CV+ ... +С"-"~,

соответствующую числу 1.

Так как а/С, то Р(а)оК. Следовательно, в соответствии Галуа полю Р(а) отвечает некоторая подгруппа Н группы G{K, Р) (именно, Н=0{К, Р(а)). Являясь подгруппой циклической группы, группа Н циклична. За ее образующую можно принять элемент 5, где d - индекс подгруппы Н. Так как 8Н=0{К, Р(а)), то а« = а и,

следовательно, а. = а для любых / и J. Поэтому, обозначая через m = n/d порядок подгруппы Н, мы получим, что

п-1 т-\ d-\

(С. а) = S С*а5* = S S С"+а5"+ =

т-1 d-l d-1 m-1

Но если d Ф п, to Ф I, и потому

ибо С" = 1. Таким образом, если d Ф п, то (С, а) = 0. Следовательно, если (С, а) Ф О, то d - n. С другой стороны, равенство d - n означает, что Н==Е, т. е. что Р{а) = К. Тем самым доказано, что

если (С, а.)фО, то Р(а.) = К.

В связи с этим утверждением естественно возникает вопрос о существовании таких элементов аК, что (С, а)ф0. (Следует иметь в виду, что из Р(а) = К еще не вытекает, что (С, а) Ф 0.) Для ответа на этот вопрос мы воспользуемся теоремой, доказанной в ч. 1, гл. 1, п. 7. Согласно этой теореме в поле К существует такой элемент 9, что

К=-Р{Ь).

Так как [К: Р]== п, то 8 является корнем неприводимого уравнения степени я. Мы покажем, что хотя бы одна из резольвент

(С. 8), (С, б).....(С. б"-) (1)

отлична от нуля.

Действительно, если все резольвенты (1) равны нулю, т. е. если

6 -f С6 -f ... +!:«->9*"~ =0.

то, поскольку

(С. 1) = !+!;+ ... = 0.

определитель

... 1

... 65"-

62 (62)5 ... (92)5"

6"- (б"-)5 ... (б"-)

л-1\5л-1

равен нулю (его столбцы линейно зависимы). С другой стороны, так как отображение 5 является автоморфизмом, то

(6)5 = (65У для любых / и j.

Следовательно, написанный выше определитель можно переписать в следующем виде:

1 1 ... 1

... 65""

... (б5-)2

(65)2

л-1\л-1

Полученный определитель представляет собой определитель

Вандермонда элементов 6, 65..... 65" (см. Курс, стр. 50).

Как известно, он равен произведению всевозможных разностей этих элементов. Но мы знаем, что среди этих элементов нет одинаковых (ибо если 65= 65. то 5= 5; см. ч. I, гл. 3, п. 3). Поэтому определитель (2) отличен от нуля. Однако выше было показано, что он равен нулю. Полученное противоречие доказывает, что все резольвенты (1) не могут быть одновременно равны нулю. Таким образом,

в поле К существует такой элемент а, что (!:. а) Ф 0.

Рассмотрим теперь для элемента а с (!, а) = О резольвенту (!, а), соответствующую произвольному целому числу t. Применяя к резольвенте

(С.а)=а+V4 ... +5:"-»"

автоморфизм 5 и учитывая, что С5 = С (ибо Р), мы получим, что

(ибо S = E), т. е.

(r\afV\,) (3)