т. е. автоморфизм 5 оставляет на месте число

Ясно, что любая степень автоморфизма 5 также оставляет число Cf на месте. Другими словами, любой элемент группы G(K, Р) (т. е. любой автоморфизм поля К над полем Р) оставляет число с, на месте (ибо вся группа О (К, Р) исчерпывается, по определению, степенями автоморфизма 5), и следовательно, CfP (см. ч. I, гл. 3, п. 4). Тем самым доказано, что для любого t в поле Р существует такой элемент с, что

(!:. а) = сД(;. а/.

Следовательно, все элементы а) принадлежат полю Я(Р), где р = (!:, а).

Найдем теперь сумму всех резольвент Лагранжа (!, а) для / = 0. 1, л-1. Имеем

/1-1 /1-1 /1-1 П-1 /1-1

S (!.«) = 2 2 = 2 2 (5)

Но если С* =?fc 1, т. е. если k Ф О, то

(ибо = ). в частности,

(!:, а) =(;-(!:, а).

Возводя это равенство в t-ю степень и учитывая, что S является автоморфизмом, мы получим, что

((С. a/f = !:-(!:. а/. (4)

Разделив равенство (3) на равенство (4) (напомним, что по условию (С, а) Ф 0), мы получим, что

ибо !;=1. Таким образом, в сумме (3) отличны от нуля только члены, соответствующие А = 0, т. е.

<х) = па.

Поскольку а)Р(Р), из этой формулы следует, что аРф), так что Р(а)сР(Р). т. е.

АГсгРф),

ибо К = Р(л).

Так как, с другой стороны, P{)czK (ибо К), то А: = Р(Р).

Наконец, полагая в формуле (4) t = n и учитывая, что мы получим, что

(PV = r.

откуда следует (см. выше аналогичные рассуждения для чисел Cf), что "Р. Таким образом, полагая с = Р", мы видим, что число р является корнем двучленного неприводимого (почему?) уравнения

д;" - с = О, где с Р.

Тем самым доказано, что поле К является простым радикальным расширением, определяемым неприводимым двучленным уравнением, т. е. доказано сформулированное в начале этого пункта утверждение.

Строение циклических расширений в общем случае (когда основное поля Р не содержит нужных корней из единицы) будет изучено в п. 4.

3. Радикальные расширения

Расширение К основного поля Р называется радикальным расширением, если существует такая цепочка " ,

P = LqCzL,cz ... czL, ,cz Ll CZ ... CZ L, = K (1)

вложенных друг в друга подполей поля К, начинающаяся с поля Р и кончающаяся полем К, что для любого /=1, S поле Ll является простым радикальным расширением поля Цепочка (1) называется при этом ради-

кальным рядом. Подчеркнем, что радикальное расширение может обладать многими различными радикальными рядами.

Несмотря на то, что в радикальном ряду (1) каждое поле Ll является нормальным расширением поля Z,/ i, все поле может не быть нормальным расширением поля Р. Это связано с тем, что, вообще говоря, нормальное расширение нормального расширения не является нормальным расширением основного поля.

Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы нормальное расширение нормального расширения было нормальным расширением основного поля, указывается следующей леммой.

Лемма. Пусть Р - произвольное поле, L - его нормальное расширение и К- нормальное расширение поля L, Оказывается, что поле К тогда и только тогда является нормальным расширением поля Р, когда над полем Р существует многочлен, полем разложения которого над полем L является поле К.

Действительно, если поле К нормально над полем Р, то существует такой многочлен f (х) с коэффициентами из поля Р, что

К=Р(Ч1.....а„),

где aj.....а„ - все корни многочлена f(x). Тогда

KczL(a.i.....а„)

(ибо PcL), ас другой стороны,

/.(«1.....%)<=К

(ибо LcK и 0-1, ч-пК). Следовательно,

K = L{ai.....а„),

т. е. К является полем разложения многочлена fix) над полем L.

(Заметим, что нормальность поля L мы в этом рассуждении не использовали.) Обратно, пусть

K=L(a.i.....а„),

где «1.....а„ - все корни некоторого многочлена f(x)

над полем Р. Так как поле L, по условию, нормально над Р,