то существует такой многочлен g (х) с коэффициентами из поля Р, что

=Р(1.....К).

где Pi.....р - все корни многочлена g(x). Тогда

КРф-г.....Рт. «1.....««)• (2)

Так как числа Pi.....р„, ai.....а„ исчерпывают все

корни многочлена g{X)f{x), то равенство (2) означает, что поле К является полем разложения многочлена g{,x)f{x) с коэффициентами из поля Р и, следовательно, является нормальным расширением поля Р. Тем самым лемма полностью доказана.

Мы будем называть поле К нормальным радикальным расширением поля Р, если оно является нормальным и одновременно радикальным расширением этого поля. Связь нормальных радикальных расширений с произвольными радикальными расширениями описывается следующей теоремой.

Любое радикальное расширение К поля Р содержится в некотором нормальном радикальном расширении К.

Мы докажем эту теорему индукцией по длине s радикального ряда (1), которым обладает радикальное расширение К. Если s=l, то К является простым радикальным, а потому и нормальным расширением поля Р. Поэтому в этом случае за поле К можно принять само поле К.

Предполагая теперь, что теорема уже доказана для всех радикальных расширений, обладающих радикальными рядами длины S-1, рассмотрим радикальное расширение К с радикальным рядом (1) длины S. Так как поле L = L x является радикальным расширением поля Р с радикальным рядом длины S-1, то, по предположению индукции, существует нормальное радикальное расширение L, содержащее поле Lx

LcL.

По условию поле K = L является простым радикальным расширением поля L=L x, т. е.

/c=z.((;, 6),

где ! - первообразный корень из единицы некоторой степени д, а 6 - произвольный корень уравнения

л" -р = 0, где pgi.

Рассмотрим минимальный многочлен g{x) числа Р над полем Р. Так как поле L нормально и р i с: Z,, то L содержит все корни Pi = p. Ра.....многочлена gix). Для

любого /=1.....г рассмотрим уравнение

Пусть - произвольный корень этого уравнения (для /=1 положим «1 = 6), и пусть

л:=!(!:. а,.....а>

Так как ai = 9, то поле К содержит поле К:

Как.

Далее, над полем L поле К обладает радикальным рядом

1==1о «= Ll с= ... c:Ij i cTiCZ ... <=.\ = К, (3) где

Li = Li i((., ai), 1=1.....г

(при /> 1 можно даже считать, что i/ = i/ i(a(), ибо LiC:Li i). По условию поле L является радикальным расширением поля Р, т. е. обладает радикальным рядом, начинающимся с поля Р и кончающимся полем L. Продолжая этот ряд рядом (3), мы, очевидно, получим радикальный ряд поля К, начинающийся с поля Р. Тем самым доказано, что поле К является радикальным расширением поля Р.

Наконец, рассмотрим многочлен 0{x) = g(x). Коэффициенты этого многочлена принадлежат полю Р. Так как

0(х) = {х"-,) ...ix"-,),

то числа а,, .... являются корнями многочлена 0(х). Все остальные корни этого многочлена получаются из корней

а,.....умножением на корни из единицы степени п, т. е.

умножением на степени первообразного корня Поэтому поле К содержит все корни многочлена 0(х), т. е. содержит его поле разложения Q над полем L. С другой стороны,

LczQ и ay.... aQ, так что =I(ai.....а) с: Q.

Следовательно, K = Q, т. е. К является полем разложе-ния над полем L многочлена О (jc). Поскольку поле L является

нормальным расширением поля Р, а многочлен 0(х) является многочленом над полем Р, то отсюда, согласно лемме, следует, что поле К нормально над полем Р.

Таким образом, мы нашли поле К, содержащее поле К и являющееся нормальным радикальным расширением поля Р. Тем самым сформулированная выше теорема полностью доказана.

4. Нормальные поля с разрешимой группой Галуа

Пусть К - произвольное нормальное радикальное расширение поля Р. В его группе Галуа О (К, Р) радикальному ряду

Р = Lq с Li<=. ... (=. Li x с: Ll с ... <=. L~K соответствует ряд подгрупп

0(К. P) = HoZ2HxZ2 ... зЯ; 1зЯ;= ... =>Н = Е. (1) где

Hi = 0{K. Ll). t=l.....s.

Для любого /=1, .... S рассмотрим тройку полей

с. Li<=.K.

Так как поле является нормальным расширением поля то группа Hi = 0 (К, L будет нормальным делителем группы Hi x = Q {К, Li x). Таким образом, ряд (1) является нормальным рядом.

Далее, факторгруппа Hi JHi изоморфна группе Галуа 0(Z,(, Z,( i) поля Ll над полем Z.( i, которая, как мы знаем, разрешима (ибо поле есть простое радикальное расширение поля Таким образом, ряд (1) является нормальным рядом с разрешимыми факторами. Существование такого ряда обеспечивает, как мы знаем (см. гл. 1, п. 4), разрешимость группы О (К, Р). Таким образом,

группа Галуа любого нормального радикального расширения разрешима.

Пусть теперь Q - произвольное нормальное подполе поля К (как всегда предполагается, что Q содержит основное поле Р). Тогда группа Галуа 0(Q, Р) поля Q над полем Р изоморфна, как мы знаем, некоторой факторгруппе группы