о (К, Р). Так как любая факторгруппа разрешимой группы является разрешимой группой, то. следовательно,

группа Галуа любого нормального подполя произвольного нормального радикального расширения является разрешимой группой.

Оказывается, что верно и обратное:

любое нормальное поле, имеющее разрешимую группу Галуа, является подполем некоторого нормального радикального расширения.

Другими словами, нормальными подполями нормальных радикальных расширений исчерпываются все нормальные поля с разрешимой группой Галуа.

Мы докажем это утверждение сначала для циклических полей, т. е. для нормальных полей, имеюш,их циклическую группу Галуа.

Пусть Q - нормальное расширение поля Р степени т с циклической группой Галуа 0{Q, Р). Рассмотрим поле

где е - первообразный корень из единицы степени т. Легко видеть, что поле К нормально над полем Я (доказать!). Так как поле К является композитом нормальных полей Я(£) И Q, то, согласно теореме ч. I, гл. 3, п. 7, группа Галуа 0{К, Я(б)) изоморфна некоторой подгруппе группы Галуа О (Q, Я). Так как группа О (Q, Я) по условию циклична, а любая подгруппа циклической группы является циклической группой, то, следовательно, группа О (К, Я(е)) является циклической группой. Ее порядок rt = [А!": Я (s)l делит число т, и потому первообразный корень ! из единицы степени п является степенью корня £, т. е. принадлежит полю Я(£):

Таким образом, поле К является циклическим расширением степени л поля Я(б), содержаш,им первообразный корень степени л из единицы. Поэтому, согласно теореме п. 2, поле К является простым радикальным расширением поля Я(е). Поскольку последнее является простым радикальным расширением поля Я, тем самым доказано, что поле К представляет собой (по построению, нормальное) радикальное расширение поля Я. Итак, доказано, что любое цикли-

ческое расширение Q поля Р содержится в некотором нормальном радикальном расширении.

Перейдем теперь к общему случаю. Пусть Q - нормальное расширение поля Р, имеющее разрешимую группу Галуа 0(Q. Я), и пусть

0(Q, p) = HoZ2Hx=> ... з , 1зЯ,з ... н, = е (2)

- произвольный разрешимый ряд группы 0(Q, Р). Если 5=1, то группа О (Q, Р) циклична и, следовательно, согласно доказанному выше, поле Q содержится в некотором нормальном радикальном расширении поля Р. Предполагая теперь, что теорема уже доказана для нормальных полей, имеющих разрешимую группу Галуа с разрешимым рядом длины S-1, рассмотрим нормальное поле Q, имеющее разрешимую группу Галуа с разрешимым рядом (2) длины s. В этом поле подгруппе Я; группы Галуа соответствует не-которое подполе lk{Q, н,).

Поле L нормально над полем Р, и его группа Галуа Q{L, Р) изоморфна факторгруппе Q{Q, P)IHi, т. е. является циклической группой. Следовательно, согласно уже доказанному, поле L содержится в некотором нормальном радикальном расширении L поля Р. Рассмотрим композит Q полей Q и Z. Как мы знаем (см. ч. I, гл, 3, п. 7), группа Галуа 0(Q, L) композита Q над полем L изоморфна некоторой подгруппе группы Галуа 0(Q, L) поля Q над полем L (за основное поле мы принимаем здесь поле L). Но 0(Q, L) = Hx и, следовательно, группа Q{Q, L), а потому и любая ее подгруппа (см. гл. 1, п. 4), обладает разрешимым рядом длины s-1. Поэтому, по предположению индукции, поле Q, а значит и поле Q, содержится в некоторо.м нормальном радикальном расширении К поля L. Так как поле L является по построению радикальным расширением поля Р, то поле К будет радикальным расширением и поля Р. Далее, как мы знаем, радикальное расширение К содержится в некотором нормальном радикальном расширении К (быть может, совпадающем с К).

Таким образом, мы нашли нормальное радикальное расширение К поля Р, содержащее данное нормальное расширение Q с разрешимой группой Галуа. Тем самым сформулированная выше теорема полностью доказана,

5. Уравнения, разрешимые в радикалах

Говорят, что корень б уравнения

/W = 0 (1)

над полем Р выражается в радикалах, если существует радикальное расширение поля Р, содержащее корень 6, т. е. если вычисление корня б сводится к четырем арифметическим действиям и решению цепи двучленных уравнений. Если все корни уравнения (1) выражаются в радикалах, то говорят, что это уравнение решается в радикалах. Оказывается, что

если хотя бы один корень неприводимого уравнения выражается в радикалах, то уравнение решается в радикалах.

Действительно, пусть корень 6 уравнения (1) принадлежит радикальному расширению К поля Р. Как мы знаем, радикальное расширение К можно расширить до некоторого нормального радикального расширения К. Так как нормальному

полю К принадлежит один корень неприводимого уравнения (1), то ему должны принадлежать и все остальные корни. Таким образом, каждый корень уравнения (1) лежит в радикальном расширении К, т. е. выражается в радикалах.

Нормальное радикальное расширение К, содержащее все корни уравнения (1), содержит и его поле разложения. Следовательно, если неприводимое уравнение решается в радикалах, то его поле разложения содержится в некотором нормальном радикальном расширении поля Р. Очевидно и обратное, если поле разложения уравнения (1) содержится в нормальном радикальном расширении, то уравнение (1) разрешимо в радикалах. Но, как мы видели в предыдущем пункте, нормальное поле тогда и только тогда содержится в некотором нормальном радикальном расширении, когда его группа Галуа разрешима. Следовательно,

неприводимое уравнение тогда и только тогда разрешимо в радикалах, когда группа Галуа его поля разложения разрешима.

Принято группу Галуа поля разложения некоторого уравнения называть группой Галуа этого уравнения. В этой