терминологии доказанная теорема звучит следующим образом:

неприводимое уравнение тогда и только тогда разрешимо в радикалах, когда его группа Галуа разрешима.

Задача. Доказать эту теорему и для приводимых уравнений. (Указание: предварительно доказать, что композит радикальных расширений является радикальным расширением.)

Подчеркнем, что доказанные в этой главе теоремы позволяют для любого уравнения с разрешимой группой Галуа эффективно построить радикальное расширение, содержащее его корни, т. е. эффективно выразить его корни через радикалы. (Пример такого построения см. ниже, гл. 4, п. 4.)

ГЛАВА 3

ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ

1. Группа Галуа уравнения как группа подстановок

Напомним (см. Курс, стр. 30), что подстановкой называется взаимно однозначное отображение некоторого конечного множества М на себя. Число п элементов этого множества называется степенью подстановки. Так как природа элементов множества М не играет в дальнейшем никакой роли, то мы можем считать, что множество М состоит из чисел 1, 2.....п.

Если при данной подстановке а число j переходит в число ij, то подстановку обозначают символом

/1 2 ... я\

а = {

В этой записи числа 1, 2.....п можно произвольным

образом переставлять (соответственно переставляя числа /j,

i, 1„У- если Jy Уг.....Jn-произвольная перестановка

чисел 1, 2, .... п, то символ

ЛЛ.-.Уя л л • • •

обозначает ту же подстановку а.

Результат последовательного выполнения двух подстановок а к д (одной и той же степени) также, очевидно, является подстановкой. Эта подстановка называется произведением подстановок а и * и обозначается через аЬ. Подчеркнем, 4TQ подстановка аЬ получается при выполнении сначала

на подстановку

подстановки а, а затем подстановки Ь. Это замечание существенно, так как при я > 2 умножение подстановок некоммутативно.

Легко видеть, что умножение подстановок ассоциативно (см. Курс, стр. 34). При умножении любой подстановки а на тождественную подстановку

\1 2 ...nj

подстановка а не меняется:

еа - ае = а.

Кроме того, произведение (в любом порядке) подстановки

/1 2 ... я

а-1 = Л 2---л V 2 ... п

является тождественной подстановкой а~а = аа~ - е. Все сказанное означает, что

совокупность S„ всех подстановок степени п является группой.

Единицей этой группы служит подстановка е, а подстановка, обратная некоторой подстановке а, определяется формулой (1).

Группа S„ называется симметрической группой п-(1 степени. Ее порядок равен я1.

Подгруппы симметрической группы S„ называются группами подстановок степени п. Другими словами, группой подстановок (степени я) называется группа, элементами которой являются подстановки одной и той же степени п, а операцией - умножение подстановок.

После этих предварительных замечаний вернемся к группам Галуа уравнений.

Пусть fix) - произвольный многочлен над основным полем Р, Как мы уже говорили, группой Галуа многочлена f (х)