(или уравнения / (х) = 0) называется группа Галуа G (Q, Р) его поля разложения Q, т. е. поля

Q = Pioi.....а„).

где aj.....а.„ - все корни многочлена / (л:) (пронумерован.

ные в некотором определенном порядке). Мы будем предполагать, что многочлен f(x) не имеет кратных корней (что, очевидно, не уменьшает оби;ности). Как мы знаем (см. ч. I, гл. 3, п. 2), для любого автоморфизма sg(Q,P) и любого корня ai многочлена f (х) число af также является корнем этого многочлена, т. е. существует такой индекс Л, что

Так как автоморфизм 5 является взаимно однозначным отображением, а все корни aj.....а„ различны, то kikj,

если lJ. Следовательно, символ

/1 2 ... «\

i%2 • • • fnJ

является символом некоторой подстановки а степени п. Чтобы подчеркнуть зависимость подстановки а от автоморфизма, мы будем обозначать эту подстановку через <р(5). Таким образом, (f будет некоторым отображением группы g(q, Р) в симметрическую группу s„. Очевидно, что для любых двух автоморфизмов 5, TgIq.P) имеет место равенство

ср(5Г) = <р(5)ср(Г).

т. е. отображение tf является гомоморфизмом. Ядро этого гомоморфизма состоит, из автоморфизмов, оставляющих на

месте каждый из корней а......а„. Но если автоморфизм

поля Q над полем Р оставляет на месте все корни aj.....а„,

то он оставляет на месте и любой элемент, выражающийся в виде многочлена (с коэффициентами из поля Р) OTaj,... .... а„, т. е. оставляет на месте любой элемент поля Q = = P(ai.....а„). Следовательно, ядро гомоморфизма (р состоит только из тождественного автоморфизма е, т. е. 9 является мономорфизмом. Другими словами, ср осуществляет изоморфное отображение группы Галуа g(Q,P) на некоторую группу подстановок. Таким образом, группу Галуа

любого уравнения (не имеющего кратных корней) можно рассматривать как группу подстановок. Степень этой группы подстановок равна степени уравнения.

Заметим, что мономорфизм (р (а потому и его образ Im tp) существенно зависит от нумерации корней многочлена f{x). Поэтому, рассматривая группу Галуа некоторого многочлена как группу подстановок, мы не должны менять первоначально введенной нумерации корней.

§ 2. Разложение подстановок в произведение циклов

Пусть

/1 2 ... п

- произвольная подстановка степени п. Если для некоторого i число kl отлично от то говорят, что подстановка а действительно перемещает число i\ в противном случае говорят, что подстановка а оставляет число i на месте.

Рассмотрим циклическую подгруппу группы 5„, состоящую из степеней подстановки а. Если т - порядок этой подгруппы, то она состоит из подстановок

аО = «, а, а2.....ал-1

причем все эти подстановки различны. Пусть- произвольное действительно перемещаемое подстановкой а число. Обозначим через число, в которое переводит число подстановка а*. Очевидно, что подстановка а переводит число в число i+i- Если бы оказалось, что lu = ik+\- то, применяя к этому равенству подстановку а"*, мы получили бы, что i(i = ii, т. е. что подстановка а оставляет, вопреки предположению, число на месте. Следовательно, все числа Iq, i, ... действительно перемещаются подстановкой а. Среди этих чисел имеется не более т различных, ибо очевидно, равно 1. Если числами

о> .....m-\

исчерпываются все числа, действительно перемещаемые подстановкой а, то подстановка а называется циклом и обозначается символом (У, . . . im-x)-

В этом случае все числа Iq, 1.....различны;

Действительно, если, например, li-=i, где О Л + -\-1т-1, Z > О, kQ, то, применяя к этому равенству подстановку а~*, мы получили бы, что lo = lt, т, е. что подстановка а оставляет число месте. Но для любого q

подстановка а" переводит число 1 в число Iq, подстановка a оставляет число Iq на месте и подстановка а переводит число 0 в число 1д. Следовательно, подстановка a = = а~аа оставляет на месте любое число 1д, т. е., согласно условию, любое число, действительно перемещаемое подстановкой а. С другой стороны, любое число, оставляемое подстановкой а на месте, подстановка а также оставляет на месте. Следовательно, подстановка а оставляет на месте все числа, т. е. а = е, что невозможно, ибо Z < т.

Заметим, что для любой системы Iq, 1.....различных чисел существует цикл (очевидно, единственный), переводящий число Iq в число ly число 1 в число 2.....число

в число и, наконец, число в число Iq. Этот цикл представляется символом

, - Ло l Л Jn-

\h, к • • • о J\ • • • Jn-m где Ji.....Jn-m - e числа из ряда 1, 2.....n, отличные от чисел 0.....m-l-

Заметим еще, что запись цикла в виде (IqI ... не-

однозначна. Именно

(о l . • • Im-l) = И:... i,n-l g = . . . = Hm-l ioh---

T. e. запись цикла можно начинать с любого действительно перемещаемого им числа. С точностью до преобразований такого рода запись цикла, как легко видеть, однозначна.

Количество т чисел, действительно перемещаемых циклом а, называется его длиной. Из сказанного выше ясно, что

длина цикла равна его порядку.

Наименьшая возможная длина цикла равна двум. Циклы длины два называются транспозициями. Транспозиция {ij) переводит число i в число /, число j - в число ; и оставляет все остальные числа на месте.

Задача. Доказать, что подстановка, действительно перемещающая только два числа, является транспозицией.