= 2тА. (1)

с другой стороны, для каждого J=\, .... и элемент 7 является линейной комбинацией элементов aj.....с коэффициентами из поля Р:

Т/==С1Л+---+С;„;ат. где с.....сР,

то есть

Таким образом, I

любое алгебраически порожденное расширение является составным алгебраическим расширением.

Другими словами, класс расширений типа 2° содержится в классе расширений типа 3°.

В частности, тем самым доказано, что

любой элемент алгебраически порожденного расширения P(aj.....а„) выражается в виде многочлена над

полем Р от элементов .....а.

6. Составные конечные расширения

Пусть L - конечное расширение поля Р, К - конечное расширение поля L,

PcLczK,

aj.....а„ - базис поля L над полем Р и .....р„ -

базис поля К над полем L. Таким образом,

/я = [1:Р], п = [К:Ц.

Оказывается, что

тп элементов аРу, /=1, т, j-l, .... и, образуют базис поля К над полем Р.

Другими словами, любой элемент поля К является линейной комбинацией элементов аРу с коэффициентами из поля Р и элементы ар линейно независимы над полем Р.

Действительно, любой элемент поля К является, по определению, линейной комбинацией элементов р,, .... р„ с коэффициентами из поля L:

Р = Т1р1+----ЬтА. --де ь.....т«6.

то есть

6. СОСТАВНЫЕ КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 19

Подставлия эти выражения в формулу (1), мы получим, что

я m

Таким образом, любой элемент поля К является линейной комбинацией элементов вида аРу с коэффициентами из поля Р.

Предположим теперь, что в поле Р существуют такие элементы kn, что

п т

Для любого j=\.....и положим

Элементы Yj, .... if„ принадлежат полю L и удовлетворяют соотношению

Так как элементы .....р„ образуют базис поля К над

полем L, то из этого соотношения вытекает, что

1[1=---=Тя = 0-Таким образом, для любого /=1, .... и

2 у»/ = О-

Следовательно, поскольку элементы ..... а„ образуют

базис поля L над полем Р, то = О для всех / и j. Тем самым доказано, что система элементов а,Ру линейно независима.

Из доказанного утверждения вытекает, что поле /Сявляется конечным расширением поля Р и его степень равна тп, т. е.

[К:Р\ = \К:Ц \L:P\.

Эту формулу легко обобщить: если

Р== LqcLiC ... c:Li ic:LiC:... c:L = K,

причем для любого / = 1.....s поле Li является конечным расширением поля Z, ,, то поле К будет конечным

20 гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ

расширением поля Р и i

lK:P] = [K:L, ,]...[Lr.Li ,]...lL,:P].

Для доказательства достаточно применить индукцию по S.

Эта теорема применима, в частности, к любому составному алгебраическому расширению, ибо, как мы знаем, любое простое алгебраическое расширение является конечным расширением. Таким образом, мы получаем, что

любое составное алгебраическое расширение является конечным расширением.

Другими словами, класс расширений типа 3° содержится в классе расширений типа 1°.

Так как все элементы конечного расширения поля Р алгебраичны над полем Р, то, в частности, для любого составного алгебраического расширения Р (а,) (aj). . . (а) элементы а,, .....алгебраичны над Р. Поэтому расширение P(aj.....а) является алгебраически порожденным

расширением. Таким образом,

любое составное алгебраическое расширение является алгебраически порожденным расширением.

Другими словами, класс расширений типа 3° содержится в классе расширений типа 2°.

Сопоставляя это замечание с результатами предыдущего пункта, мы видим, что класс составных алгебраических расширений совпадает с классом алгебраически порожденных

расширений. При этом, если K = P{oii.....а), то

К = Р{1х).. .{си), и наоборот.

Далее, как было доказано в п. 4, класс конечных (т. е. типа 1°) расширений содержится в классе расширений типа 3°, т. е., по доказанному, и в классе расширений типа 2°. Следовательно, класс конечных расширений совпадает с классом составных алгебраических расширений.

Сопоставляя обе эти теоремы, получаем, что

следующие три утверждения равносильны:

а) поле К является конечным расширением поля Р;

б) поле К является составным алгебраическим расширением поля Р;

в) поле К является алгебраически порожденным расширением поля Р.