Если

a = (l,l2)ikQ-.-(ls-iQ

- разложение подстановки а в произведение транспозиций, то

откуда следует, что

подстановка, обратная-четной подстановке, четна, обратная нечетной - нечетна.

что при описанных преобразованиях число транспозиций либо не меняется (когда мы пользуемся соотношениями (1), (2)), либо уменьшается на две единицы (когда мы пользуемся соотношением (5)). Поэтому исходное произведение (3) также состоит из четного числа транспозиций. Тем самым лемма полностью доказана.

Пусть теперь некоторая подстановка а двумя способами разложена в произведение транспозиций:

a = (lxl2) .. . (Vi V"

а = (ЛЛ) •U2q-xJ2<,)

(первое разложение содержит р транспозиций, а второе q). Тогда

ih к) ••• ihp-xkp)U24hg-\) • • • СУг /О = аа~ = е,

и, следовательно, по доказанной лемме, число p-q четно.

Таким образом, числа р н q либо одновременно четны, либо одновременно нечетны. Другими словами,

при всех разложениях подстановки в произведение транспозиций четность числа этих транспозиций будет одна и та же.

Подстановка называется четной, если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетной - в противном случае. Согласно доказанной теореме, четность подстановки не зависит от выбора ее разложения в произведение транспозиций.

Любая транспозиция, или вообще любой цикл четной длины, является нечетной подстановкой, а любой цикл нечетной длины, в частности любой цикл длины 3, является четной подстановкой. Тождественная подстановка, очевидно, четна.

Далее, если

* = (ЛЛ).-.(Л-1Л).

аЬ = (/i /г) ... /,) Ui Ji) (J,-i J,)-

Поэтому

произведение двух четных или двух нечетных подстановок является четной подстановкой; произведение четной и нечетной подстановок является нечетной подстановкой.

Отсюда следует, что совокупность всех четных подстановок (данной степени п) является подгруппой симметрической группы S„. Эта подгруппа обозначается через А„ и называется знакопеременной группой степени п.

Так как для любой четной подстановки а и произвольной

подстановки b произведение bab~ является четной подстановкой, то знакопеременная группа А„ является нормальным делителем симметрической группы 5„. Так как для любых

двух нечетных подстановок а к b подстановка аЬ~ четна, т. е. принадлежит группе А„, то все нечетные подстановки образуют один смежный класс по подгруппе Л„. Следовательно, факторгруппа SJA„ состоит только из двух элементов, т. е. имеет порядок 2. Поэтому

порядок группы А„, т. е. число четных подстано-1 ,

вок степени п, равен п1

4. Строение знакопеременной и симметрической групп

Изучим строение группы А„ при различных значениях п.

Для п==2 знакопеременная группа состоит только из тождественной подстановки е.

Для п = 3 знакопеременная группа имеет порядок -31 = 3

и, следовательно, циклична. В качестве ее образующей можно принять любую четную подстановку (например, цикл (1.2,3)).

f, = (12)(3 4). 2 = (13) (2 4). з = (14)(2 3). s, = (123). S2 = (124). S3 = (132). s, = (\3A). S5 = (14 2), Se = (l4 3). S7 = (2 3 4), S8 = (2 4 3). Легко проверяется, что

Следовательно, подстановки в, ty /2. 3 образуют подгруппу группы А. Эта подгруппа называется клейновской группой и обозначается B. Группа абелева и имеет порядок 4. Далее легко проверить, что

Следовательно, группа B является нормальным делителем группы А. Соответствующая факторгруппа AJB имеет порядок 3 и поэтому является циклической группой.

Так как группа В абелева, то любая ее подгруппа, на» пример циклическая подгруппа С4 второго порядка, состоящая из тождественной подстановки е и подстановки t, является нормальным делителем (группы В, но не всей группы А). Порядок факторгруппы 4/04 равен двум, и следовательно, эта факторгруппа является циклической группой.

Таким образом, цепочка подгрупп

/z>BziCQ9

Для «==4 знакопеременная группа имеет порядок 2-41 = 12 и состоит из следующих элементов: