5. Пример уравнения с симметрической группой Галуа

Группа О подстановок степени п называется транзитивной, если для любых двух чисел /, J (конечно, предполагается, что 11, J п) в группе О существует хотя бы одна подстановка, переводящая число I в число у. Значение транзитивных групп для теории Галуа объясняется следующей теоремой.

Группа Галуа неприводимого многочлена транзи-тивна.

Для доказательства достаточно заметить, что если многочлен fix) неприводим, то все его корни а,.....а„ сопряжены между собой, и поэтому для любой пары корней а,,

oLj в поле Q = P(a,.....а„) существует автоморфизм

(над Р), переводящий корень а, в корень а, (см. ч. I, гл. 3, п. 5).

Задача. Доказать, что многочлен, имеющий транзитивную группу Галуа, неприводим.

Не имея в виду изучить любые транзитивные группы, мы ограничимся рассмотрением групп, содержащих хотя бы одну транспозицию.

Пусть транзитивная группа О содержит транспозицию (iii) Кроме этой транспозиции, группа О может содержать и другие транспозиции вида (iJ). Пусть

(i 2). (к к).....Cl и

- все транспозиции вида (1/), содержащиеся в группе О. Тогда группа О не содержит ни одной транспозиции вида

(Jig). <7=1. 2.....т,

для которой число у отлично от чисел ll, I2.....1„ (транспозиции вида (ip t), где 1 < р, < т, группа О содержит, ибо (;p;) = (;i/p)(;i;)(;i;p)). Действительно, для-! это очевидно, а для > 1 из соотношений {] 1р)0 и (l j) ~

- ikqHJiq)iktq) вытекает, что, вопреки условию, {ij)0. Если теперь т <.п, т. е. если существует число J п,

отличное от чисел .....то, поскольку группа О тран-

зитивна, в ней существует хотя бы одна подстановка а,

Как и выше, доказывается, что ни одно из чисел .....

не равно ни одному из чисел /j, ..., i. Кроме того, оказывается, что ни одно из чисел k, .... не равно ни одному из чисел у,.....у„. Действительно, если, например, kp = Jg, то группа О содержит транспозицию

ab-\lii„) ba- = (klg),

где k - число, переводящееся подстановкой а в число k, что невозможно, ибо число k, очевидно, отлично от чисел

1.....1д. Следовательно, Зт п.

Если Зт < п, то аналогичным построением мы можем найти m чисел 1.....отличных от всех ранее найденных, и тем самым доказать, что 4т п. Процесс построения новых чисел остановится лишь тогда, когда мы исчерпаем все п чисел 1,2.....га. Но так как на каждом шаге

мы добавляем ровно m чисел, то такое исчерпание возможно лишь тогда, когда m делит п. С другой стороны, процесс должен обязательно остановиться, ибо число п конечно. Тем самым мы доказали, что число т делит число п (степень группы О),

переводящая число в число у. Пусть где

Из доказанного выше следует, что ни одно из чисел

У,.....у„ не равно ни одному из чисел /j, .....ибо

подстановка а (г,/) о" = = Ui принадлежит группе Q. Следовательно, 2т < л.

Если 2т < /?, то существует число kn, отличное как от чисел il.....1, так и от чисел j\.....у. В силу транзитивности группы О в ней существует хотя бы одна подстановка Ь, переводящая число в число k. Пусть

h k im .1 2 • • • *m

Так как fft !> 2, то отсюда следует, что в случае, когда п - простое число, число т должно совпадать с п. Таким

образом, в этом случае числа ti.....1 исчерпывают все

числа 1,2, п, и потому группа О содержит любую транспозицию (1J) (кбо (1 = Следовательно,

Q~S„, потому что каждая подстановка разлагается в произведение транспозиций. Тем самым доказано, что

транзитивная группа простой степени, содержащая транспозицию, совпадает со всей симметрической группой.

Применим эту теорему к задаче отыскания группы Галуа неприводимого многочлена /(лг) простой степени п. Предположим, что все корни многочлена f (х) действительны, кроме двух. Пусть, например, а,, «2 - не действительные

корни многочлена f (х), а «з.....а„ - его действительные

корни. Предположим далее, что основное поле Р состоит только из действительных чисел (например, является полем R рациональных чисел). Тогда корни и являются, как известно, комплексно сопряженными числами

Любой элемент а поля Q = P(ai, «2, а......а„) выражается

в виде многочлена (с коэффициентами из Р) от а,, «2.....а„:

« = «2. «3.....«я)-

Так как все коэффициенты этого многочлена являются по условию действительными числами, то

a = g(«i. «2. «3.....«я).

то есть

« = («2. «1. «3. «я)

(напомним, что корни «з.....а„ по условию являются действительными числами), и следовательно, aQ. Поэтому, полагая

«5 = а,

мы получим некоторое отображение 5 поля Q в себя. Из элементарных свойств операции «->« (см. Курс, стр. 122) легко следует, что отображение 5 является автоморфизмом поля Q над полем Р, т. е. SG{Q. Р). Подстановка, соот-