ветствующая автоморфизму S, является, очевидно, транспозицией (1 2). Таким образом, группа Галуа многочлена f{x) (рассматриваемая как группа подстановок) является транзитивной (ибо многочлен f{x) неприводим) группой простой степени п, содержащей транспозицию (1 2). Поэтому эта группа совпадает со всей группой S„. Таким образом, доказана следующая теорема. Если

1) поле Р состоит только из действительных чисел;

2) многочлен f{x) неприводим над полем Р;

3) степень п многочлена f(x) является простым числом;

4) многочлен f{x) имеет точно два не действительных корня,

то группой Галуа многочлена f{x) является симметрическая группа S„.

Примером многочлена над полем R рациональных чисел, который удовлетворяет условиям этой теоремы, служит многочлен

х + рх + р,

где р - произвольное простое число. Неприводимость этого многочлена следует из критерия Эйзенштейна (см. Курс, стр. 353). Ряд Штурма для него имеет вид

x + px-JrP, 4л:« + р, Зрл: + 4, 1,

и следовательно, согласно теореме Штурма, многочлен х-\-рх-\-р имеет три действительных корня. Таким образом, этот многочлен удовлетворяет условиям теоремы. Значит, его группой Галуа является группа S. Так как последняя группа неразрешима, то уравнение

хрх-р = 0

неразрешимо в радикалах. Таким образом,

над полем рациональных чисел существуют неразрешимые в радикалах уравнения пятой степени.

Так как если все уравнения некоторой степени п разрешимы в радикалах, то разрешимы в радикалах и все уравнения любой меньшей степени (почему?), то тем самым доказано, что

над полем рациональных чисел существуют неразрешимые в радикалах уравнения любой степени, большей или равной пяти.

Для построения таких уравнений достаточно многочлен х-\-рх~\-р умножить на произвольный многочлен соответ« ствующей степени.

6. Обсуждение полученных результатов

Изложенные в конце предыдущего пункта соображения позволяют привести лишь отдельные примеры неразрешимых в радикалах уравнений над полем рациональных чисел. При этом для степеней, больших пяти, получаются обязательно приводимые уравнения. Таким образом, вопрос о существовании неразрешимых в радикалах неприводимых уравнений степеней, больших пяти, остается для нас пока открытым. Кроме того, остается открытым вопрос о существовании неразрешимых в радикалах уравнений (хотя бы приводимых) над полями Р, отличными от поля рациональных чисел. Для каждого конкретного поля Р (по крайней мере, если оно состоит только из действительных чисел) примеры таких уравнений можно пытаться построить, пользуясь теоремой, доказанной в предыдущем пункте (при этом, конечно, нужно предполагать, что поле Р не слишком велико, так как, например, над полем действительных чисел любое уравнение разрешимо в радикалах, ибо любой многочлен разлагается на линейные и квадратичные множители). Основная трудность здесь состоит . в доказательстве неприводимости. Так как для произвольных полей не существует никаких критериев неприводимости, то на этом пути нельзя надеяться получить никаких общих результатов.

Ввиду этих затруднений целесообразно вопрос о разрешимости в радикалах любого уравнения данной степени п над данным полем Р поставить несколько в иной плоскости, заменив его вопросом о разрешимости в радикалах общего уравнения степени п над полем/Р. При этом под общим уравнением степени п над полем Р мы понимаем уравнение

+ ... +а„ = 0, (1)

где о,.....о„ - независимые переменные, которые мы

мыслим пробегающими независимо друг от друга все элементы

поля Р. На этом пути в первую очередь нужно определить, что значит выражение «уравнение (1) разрешимо в радикалах», так как определение разрешимости в радикалах, которым мы пользовались выше (для уравнений с числовыми коэффициентами) в этом случае неприменимо.

Первое, естественно возникающее определение разрешимости в радикалах общего уравнения (1) можно сформулировать следующим образом: уравнение (1) разрешимо в радикалах над полем# если существует такая формула:

R{ax, 02.....a«).. (2)

содержащая, кроме знаков арифметических действий, только

знаки У , что при любом выборе значений а?, а\.....а°„Р

коэффициентов уравнения (1) число/?(а?, 0°.....а°) является

корнем уравнения (уже числового!):

x + aU"-+ ... +4 = 0.

(ввиду многозначности операции У нужно при этом оговорить, какие имеются в виду значения корней Y \ в формулу (2) могут, конечно, входить и некоторые постоянные числа. Естественно при этом требовать, чтобы эти числа принадлежали полю Р.

При этом понимании разрешимости в радикалах общего уравнения легко видеть, что если общее уравнение степени п разрешимо в радикалах над полем Р, то и любое (числовое) уравнение над полем Р разрешимо в радикалах (в нашем прежнем смысле). Отсюда, в частности, следует, что

над полем рациональных чисел общее уравнение степени и5 неразрешимо в радикалах.

Изложенное определение разрешимости в радикалах общего уравнения имеет тот недостаток, что оно совершенно формально и, по существу, никак не связано с общими понятиями теории Галуа. Поэтому, оставаясь на этой точке зрения, мы не в состоянии применить развитую выше теорию к решению вопроса о разрешимости в радикалах общего уравнения над произвольным полем.

Более содержательная точка зрения состоит в рассмотрении общего уравнения (1) над полем Р (а, а, а„) всех рациональных дробей от переменных а.....а„ (имеющих