коэффициенты в поле Р). Как было сказано в ч. I, гл. 1, п. 1, вся развитая выше теория применима не только к числовым полям, но и к любым подполям некоторого алгебраически замкнутого поля (характеристики 0). Поэтому, если мы, рассматривая уравнение (1) над полем Р{ау а, а„), хэтим применить к нему теорию Галуа, мы должны доказать, что поле P(ai, flj.....n) содержится в некотором алгебраически замкнутом поле. Если это будет доказано, то понятие разрешимости в радикалах, так же как и найденный выше критерий разрешимости, будет автоматически применимо к общему уравнению (1). Следовательно, определив группу Галуа этого уравнения, мы немедленно решим вопрос о его разрешимости в радикалах. Детальному проведению этих соображений будет посвящена следующая глава.

ГЛАВА 4

НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНИ л>б

1. Поле формальных степенных рядов

Пусть Р - произвольное поле характеристики О (например, числовое). Формальным степенным рядом над полем Р от переменной х называется выражение вида

+ ao+aiJf+ •••+aftJf*+-.-. (I)

где a „, ..... .....<k< •••-произвольные

элементы поля P. Подчеркнем, что ряд (1) мы рассматриваем чисто формально, не накладывая никаких ограничений на сходимость (к тому же для произвольного (не числового) поля Р говорить о сходимости ряда (1) не имеет смысла).

Среди коэффициентов а .....а.....а, ... ряда (1)

могут быть равные нулю. Мы будем считать, что при удалении (а значит, и при прибавлении) членов, имеющих нулевые коэффициенты, ряд (1) не меняется.

Степенные ряды можно складывать и перемножать точно так же, как и многочлены. Легко проверяется, что относительно сложения и умножения совокупность Р (х) всех формальных степенных рядов над полем Р от переменной х является кольцом. Оказывается, что

кольцо Р (х) является полем, т. е. для любого отличного от нуля степенного ряда / существует такой степенной ряд g, что /g = 1.

Действительно, любой отличный от нуля степенной ряд можно записать в следующем виде:

/ = x(ap + aix+ ... +ajx*+...),

Так как ааФО, то эти уравнения последовательно позволяют

однозначно определить числа Ь, Ь-.....bf, ... Положив

теперь

= х-(*о + М+--- + **-*+---). мы, очевидно, получим, что

Тем самым наше утверждение полностью доказано.

Любой многочлен а-{-а1Х-\- ... -{-ах мы можем (добавляя члены с нулевыми коэффициентами) рассматривать как степенной ряд. Следовательно, кольцо Р [х\ всех многочленов над полем Р от переменной х является подкольцом кольца Я (х). Но так как кольцо Р {х) является полем, то вместе с любыми многочленами оно содержит также и все их отношения, т. е. все дробно-рациональные функции (рациональные дроби) от переменной х с коэффициентами из поля Р (этот факт является алгебраическим эквивалентом того известного обстоятельства, что любая рациональная дробь разлагается в степенной ряд). Таким образом,

поле Р{х) всех рациональных дробей является подполем поля Р{х).

Пусть

F(z) = z"-{-fiZ--\- ... -\-f„

- произвольный многочлен над полем Р (х) (со старшим

коэффициентом, равным единице). Коэффициентами /i...../„

этого многочлена являются степенные ряды над полем Р от переменной х. Мы будем предполагать, что эти коэффициенты не содержат членов с отрицательными степенями переменной х, т. е. что

где п - некоторое целое число (положительное, отрицательное или нуль), а ОдФО. Определим числа bQ, b.....

из уравнений

«0*0 = 1. «0*1+ «1*0 = О-Оо*2 + «А + «2*о = 0.