Рассмотрим многочлен (над полем Р)

/o(2) = 2" + aio"-+

(этот многочлен получается из многочлена F {г) подстановкой дг==0). Оказывается, что

если многочлен Fq{z) над полем Р разлагается на произведение двух взаимно простых многочленов

Fq{z) = Oq{z)Hq{z),

то надполем Р{х) существуют такие многочлены 0{х) и H{z), что

F(z) = G{z)H{z).

причем при подстановке х = 0 многочлен О (z) переходит в многочлен Oq{z), а многочлен H{z)-e многочлен Hq{z).

Для доказательства мы запишем многочлен F (z) в виде формального ряда

Fizr=FQiz)-\-F,{z)x ... +/(2)х*+ ....

F,iz) = a,,z--\- ... -\-а„,. k=l.2.....

и рассмотрим систему уравнений

Go (z) Я, (Z) + Oi (z) Но (z) = F, (z), Go (z) Я2 {z) + Q, (z) Я1 (2) + O2 (z) Яо {z) = F {z),

........................ (2)

Go{z)H(2)+0,(2)Я, 1 (2)+ ...G(z) Яо{z) F,{z),

относительно неизвестных многочленов

Ot(z), Qiz).....0,(2)..... (3)

H,{z), Hiz).....H„{z), ... (4)

Докажем, что всегда существуют такие многочлены (3), (4), что, во-первых, они удовлетворяют системе (2), а во-вторых, степень каждого многочлена (3) меньше степени р многочлена Gq{z), а степень каждого много-

члена (4) меньше степени q многочлена Hq {z). Полагая с этой целью

5i(2) = Fi(2),

B2{z) = F2{z) - Oi{z)Hi{z),

В, {Z) = F, (Z) - Gl (z) Я, , (z) - О2 (z) H, 2(z) - ...

••• -o*-i()/i.(f)>

мы перепишем уравнения (2) в следующем виде: Оо (z) Я1 (Z) + Gl (z) Яо (z) = 5i (z). Go (z) Я2 (z) -h G2 (z) Яо (z) = B2 (z).

Go (z) H, {z) -h G, (2) Яо iz) = 5, (2).

Предположим теперь, что для некоторого k уже найдены многочлены 0i(2:).....G i{z), Hi(z).....Hi i{z), удовлетворяющие перечисленным выше условиям. Тогда многочлен Bfi (z) мы можем рассматривать как известный нам многочлен. Степень этого многочлена, очевидно, меньше чем п = p-\-q.

Так как многочлены Gq(z) и Яо(2:) взаимно просты,

то существуют такие многочлены H{z) и 0{z), что

Go(z)H{z)-{-6,{z)Ho{z) = l

(см. Курс, стр. 141). Пусть H(z) - остаток от деления многочлена Н/ (z) В,, (z) на многочлен Яо (г):

Я , (z) В, (z) = Яо (Z) Ф„ (z) + Я (z).

Тогда

Оо (Z) {Z) = Go {Z) {Z) В, {Z) - Оо {z) (г) Ф, (г) =

= (1 - О, (2) Яо {Z)) 5* {Z) - Оо {Z) Но (z) (г). Go(z)H,{z) + G,{z)Ho(z) = B,{z).

О, (г) == О, (2) 5, (2) + Оо iz) Ф, (2).

По построению, степень многочлена Н, {z) меньше q и потому степень многочлена Of {z) Hq (z) - В, {z) - Oq {z) (z) меньше л = + Следовательно, степень многочлена 0;(2) меньше р = п - q.

Заметим, что многочлены G{z) и Я,(г) определяются единственным образом. Действительно, если

О о Iz) Н, (z) 0 (z) Но (z) = В, (Z)

Оо (z) Hk (z) + о; (z) Но (z) = В (z),

где степени многочленов G{z) и Ок (z) меньше р, а степени многочленов H(z) и Hkiz) меньше q, то

Оо (z) (Я, (Z) - я; (Z)) = (о; (2) - О, (2)) Яо (z),

откуда следует (в силу взаимной простоты многочленов Go{z) и Яо (z)), что разность Я (г) - Я (z) делится на многочлен Яо(г:). Поскольку степень многочлена H(z) -Hi,(z) по условию меньше степени q многочлена Hq{z), это возможно только тогда, когда Я(2) - Я(г) = О, т. е. когда H(z) =

= нк{г). Аналогично 0 (г) = 0 (г).

Предположение о том, что уже найдены многочлены

Gx(z).....0 i{z), H-xiz)..... H x(z), нам было нужно

только для того, чтобы рассматривать многочлен В, (г) как известный. Так как многочлен Biz) нам известен с самого начала (он равен многочлену Fi{z)), то все изложенные рассуждения применимы и к случаю &==1. Таким образом, начиная с k=\, мы можем последовательно (и притом единственным образом) определить все многочлены (3) и (4). Положим теперь

0(2) = 0o(2) + 0i(2)x + ... +0,(г)х*+ .... 1

H{z)Ho{z) + H,iz)x+ ... +Я,(г)х*+ ...

Собирая вместе члены, содержащие одинаковые степени переменной Z, мы видим, что 0(z) и H(z) являются многочленами над полем Р (х) (степеней р « q соответственно). С другой стороны, перемножая (формально) их выражения (5) и пользуясь соотношениями (2), мы, очевидно, получим, что

. 0{z)Hiz) = F{z).