Тем самым сформулированная выше теорема полностью доказана.

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение, легко вытекающее из доказанной теоремы;

если поле Р алгебраически замкнуто, то многочлен

= + ...+/„

степени л> 1 над полем Р{х), имеющий старший коэффициент, равный единице, приводим, когда выполнены следующие условия:

1) все его коэффициенты /,...../„ не содержат

членов с отрицательными степенями переменной х;

2) хотя бы один коэффициент fi...../„ имеет свободный член, т. е. содержит член с нулевой степенью переменной х;

3) хотя бы один коэффициент ...../„ не имеет

свободного члена, т. е. начинается с члена, имеющего положительную степень относительно х.

Действительно, в силу условия 1) для многочлена F (г) определен многочлен Fq{z) (над полем Р), получающийся из многочлена F (х) подстановкой дг = 0. В силу условия 2) многочлен Fq(z}, кроме члена г", имеет еще по крайней мере один член с отличным от нуля коэффициентом. Поэтому в поле Р существует хотя бы один отличный от нуля корень а многочлена Fiz) (напомним, что поле Р предполагается алгебраически замкнутым). Пусть Oo{z) = {z - ау- наивысшая степень двучлена z - а, на . которую делится многочлен Fq{z). Таким образом,

Fo{z) = Oo(z)Ho(z), (6)

где многочлен Hq(z) взаимно прост с многочленом Oq(z). Это разложение не тривиально, т. е. степень р многочлена Gq(z) не равна п. Действительно, если р = п, то Foiz) = iz - a) и, следовательно, все коэффициенты многочлена Fq(z) отличны от нуля (напомним, что поле Р ми предполагаем полем характеристики 0), что противоречит условию 3). Согласно доказанной выше теореме, разложение (6) определяет некоторое разложение F (z) = О (z) Н(z) многочлена F(z). Тем самым приводимость многочлена F(z) доказана (ибо степень многочлена О (г) равна р и, следовательно, меньше п).

2. Поле дробностепенных рядов

Пусть, как и выше, Р - произвольное поле характеристики 0. Дробностепенным рядом над полем Р от переменной х называется выражение вида

ах" -{-а,х" + ... +а,х + .... (1)

где п - произвольное целое положительное число, Hq, п-, ... .... Л;, ... - возрастающие целые числа

«о < «1 < • • • < «а < • • •

(среди них могут быть и отрицательные, но только в конечном числе), а Оо- 1.....- некоторые элементы

поля Р. Если и = 1, то дробностепеиной ряд есть не что иное, как формальный степенной ряд в смысле п. 1. Так же как и для степенных рядов, мы не считаем различными дробностепенные ряды, отличающиеся членами с нулевыми коэффициентами. Дробностепенные ряды можно складывать и перемножать по тем же правилам, как и формальные степенные ряды, причем, как легко видеть, относительно операций сложения и умножения совокупность Р [х] всех дробностепенных рядов над полем Р от переменной х является кольцом. Оказывается, что кольцо Р [х] является полем.

Для доказательства достаточно заметить, что любой дробностепеиной ряд

По fft

f=aQX"-\- ... + адг«4- • • •

можно рассматривать как формальный степенной ряд от переменной

= x.

Так как кольцо Р($) формальных степенных рядов от переменной 5 является полем, то для ряда /, рассматриваемого как степенной ряд от существует (конечно, если f ф 0)

такой степенной ряд g от что fg=\- Заменяя в ряде g

переменную i обратно на х", мы получим (уже дробностепеиной) ряд от X, для которого fg-l.

Основное свойство поля Р [х] описывается следующей теоремой:

Если поле Р алгебраически замкнуто, то и поле Р \х] также алгебраически замкнуто.

Другими словами, любой многочлен F {г) над полем Р [х] разлагается на линейные множители.

Для доказательства этого утверждения, очевидно, достаточно доказать, что любой многочлен

F{z) = z-\-fiZ--\- ... +/„

над полем Р [х] степени и> 1 приводим. Имея это в виду, заметим, что без ограничения общности мы можем предполагать, что в многочлене F {z) коэффициент /i при г"" равен нулю. Действительно, если /i Ф О, то, введя новое неизвестное

у=.+4-

мы, как легко видеть, получим многочлен с равным нулю коэффициентом /j. С другой стороны, при такой замене неприводимый многочлен останется неприводимым, а приводимый - приводимым.

Если все коэффициенты /j многочлена F{z) равны нулю, т. е. если F(z) = z, то многочлен F(z) приводим, так что в этом случае теорема верна. Таким образом, мы можем • предполагать, что среди коэффициентов есть отличные от нуля. Пусть разложение отличного от нуля коэффициента fi в дробностепенной ряд от переменной х начинается с члена ал:, где О, а - некоторое рациональное число (которое может быть и отрицательным). Пусть г -

наименьшее из чисел у. Тогда для любого / (для которого

fiфO)

fl > Ir,

причем равенство достигается хотя бы для одного /. Произведем теперь замену неизвестного, положив

Z = ух.

Тогда, как легко видеть,

F{z) = xG{y),