а(у) = у + 2У"-=+ +ёг.

(gi = О, ибо мы предполагаем, что /j = 0), причем для любого /

Следовательно, разложение отличного от нуля коэффициента gi начинается с члена

(т. е. члена неотрицательной степени), причем хотя бы для одного I разложение коэффициента gi имеет свободный член.

Пусть теперь т - наименьший общий знаменатель всех показателей, с которыми переменная х входит в ряды gj- • • ,.., g„. Тогда эти ряды можно рассматривать как формальные степенные ряды от переменной 1 = х", а следовательно, многочлен О (у) - как многочлен над полем Р{4). Очевидно, что этот многочлен (рассматриваемый над полем Р{)) удовлетворяет всем условиям доказанного в конце предыдущего пункта предложения (условие 3) для него выполнено потому, что gi = 0). Следовательно, над полем этот многочлен приводим, т. е. представляется в виде произведения некоторых многочленов над полем P{i), имеющих положительные степени, отличные от п. Полагая в коэффи-

циентах этих многочленов S = х", мы, очевидно, получим разложение многочлена О (у) в произведение многочленов над полем Р{х}: Тем самым доказано, что многочлен О (у) приводим. Для завершения доказательства остается заметить, что из приводимости многочлена О (у) немедленно вытекает и приводимость многочлена F(z). Тем самым алгебраическая замкнутость поля Р {х] полностью доказана.

Наряду с дробностепенными рядами от одного неизвестного X можно определить дробностепенные ряды от нескольких неизвестных х, . .., х„. Совокупность Р {д:,, . .. ..., х„] всех дробностепенных рядов над полем Р от неизвестных Xi.....х„ проще всего определить по индукции:

{1.....x„)=P{xi.....х„ х} {х„},

т. е. определить Р [x.....х] как поле дробностепенны;(

рядов над полем Р [х-.....от переменной х„. Легко

можно дать прямое (хотя и несколько громоздкое) определение поля Р (aTj.....х„]. Например, элементами поля

Р\Ху х], т. е. дробностепенными рядами от двух неизвестных ATj и Х2, являются выражения вида

оо оо 11 "li

(=0 j=0

Сложение и умножение таких рядов определяются по очевидным правилам.

Если поле Р алгебраически замкнуто, то, как мы знаем, алгебраически замкнуто и поле Р\х, а потому и поле Р\Ху ATj) (как поле дробностепенных рядов над алгебраически замкнутым полем Р [х-). По аналогичным соображениям алгебраически замкнуто поле Р {ху х,, з) и вообще любое поле Р [х.....х. Таким образом,

если поле Р алгебраически замкнуто, то поле Р [х.....х„} также алгебраически замкнуто.

В частности,

поле С [х.....х„} дробностепенных рядов от п переменных с комплексными коэффициентами алгебраически замкнуто.

Как мы видели выше, поле рациональных дробей Р{х) от переменной х над полем Р является подполем поля Р {х) формальных степенных рядов. С другой стороны, поскольку любой степенной ряд является также и дробностепенным рядом, то Р{х) с Р \х]. Таким образом,

Pix)czP{x].

Отсюда по индукции легко следует, что вообще для любого п

, P(Xi.....x„)<:zP{xi.....х„].

Следовательно, в частности,

. для любого числового поля Р поле рациональных дробей P{Xi.....х содержится в алгебраически замкнутом поле С [x-i.....х„\.

Тем самым мы обосновали возможность применения теории Галуа к уравнениям над полями рациональных дробей (с числовыми коэффициентами) и, в частности, к общему уравнению степени п (см. гл. 3, п. 6).

3. Группа Галуа общего уравнения степени п

Напомним, что под общим уравнением степени п мы понимаем уравнение вида

x + a,Jf«-i+ ... +fl„ = 0, (1)

где с,.....а„ - независимые переменные. Это уравнение

мы рассматриваем как уравнение над полем Р = Р(ах.....а„)

рациональных дробей от переменных а,.....а„ с коэффициентами из некоторого числового поля Р. Поскольку поле

P{ai.....а„) содержится в алгебраически замкнутом поле

С {aj, а„}, то, как мы уже неоднократно отмечали, к уравнению (1) применимы все понятия и методы теории Галуа.

В частности, мы можем говорить о его поле разложения (над полем Р):

QPik.....t„l

где 1.....t„ - корни уравнения (1), т. е. некоторые

дробностепенные ряды из поля С [а.....а„]. В этом поле

содержится, в частности, поле P(ti.....t„):

Р(к.....in)Q-

Но ввиду известных формул Вьета коэффициенты а, ... .... а„ уравнения (1) рационально выражаются через его корни и поэтому принадлежат полю P{ti.....t„). Следовательно,

P<=P(ti.....и.

и потому

Р(к.....(r.)Pih.....Q-

Таким образом,

Q = P(/i. .... t„).

Отсюда следует, что любой элемент поля Q выражается в виде рациональной дроби от элементов ti.....t„ с коэффициентами из поля Р. Действительно, совокупность всех рациональных дробей от элементов .....t„ с коэффициентами из поля Р является, очевидно, подполем поля Q,