содержащим поле Р и элементы t, .... t„. Поэтому в силу минимальности поля Pit, .... t„) это множество совпадает

со всем полем Pt.....t„) = Q.

Оказывается, что

любой элемент поля Q единственным образом выражается в виде рациональной дроби q, коэффициентами из поля Р.

Действительно, если

/Лк.....tn) fAt...... t)

gii.t,.....t„) gAt.....tr,)

g2(ii.....in)Mh.....in)-

Ho если дроби A и различны, то многочлен g-ifi -

S\ Si

- g\f2 отличен от нуля (т. е. имеет отличные от нуля коэффициенты). Поэтому если хотя бы один элемент поля Q двумя разными способами выражается в виде рациональной дроби от ti.....t„, то над полем Р существует такой отличный от нуля многочлен / от п неизвестных Ху aTj, ..., х„, что

fity .... t„)==0.

Рассмотрим для этого многочлена / все многочлены вида Д (см. ч. I, гл. 3, п. 1), где

/1 2 ... п

""Vl h --In

- произвольная подстановка степени п. По определению

faii. 2.....х„) = f(Xi, Xi .....Xi.

Все многочлены Д отличны от нуля, и следовательно, их

произведение F{Xy х.....а:„) также отлично от нуля.

Но, как мы знаем (см. ч. I, гл. 3, п. 1), это произведение ярляется симметрическим многочленом. Следовательно, по основной теореме о симметрических многочленах (см. Курс,

стр. 322) многочлен F {Ху х,.....х„) выражается в виде

некоторого отличного от нуля многочлена (с коэффициен

тами из ПОЛЯ Р) от элементарных симметрических многочленов от .....х„. Но при Xi = ti последние многочлены с точностью до знаков совпадают с коэффициентами а, ..., а„ уравнения (1). Следовательно, над полем Р существует такой отличный от нуля многочлен g, что

g(a„*..., a„) = Fiti.....t„).

С другой стороны, элемент F(ti.....t„) поля Q является

произведением всех элементов вида fik.....я)- ""Де as„.

Так как среди сомножителей этого произведения содержится равный нулю элемент / i.....п) - fe .....то

Fiti.....U = 0-

Следовательно, мы нашли над полем Р такой отличный от нуля многочлен g, что

g{ai.....а„) = 0.

Но это невозможно, ибо по условию коэффициенты а, ... .... а„ являются независимыми переменными и никакой отличный от нуля многочлен над полем Р от них не равен нулю.

Полученное противоречие доказывает, что представление любого элемента поля Q в виде рациональной дроби от 1.....t„ однозначно.

Заметим, что из доказанного утверждения следует, что все корни tx.....t„ различны. Действительно, если, например, 1 = 2 то существует такой отличный от нуля многочлен f от п неизвестных х.....х„ (именно многочлен /(1..... x„)=!-Xi - Х2), что fitx.....t„)~Q. Таким образом,

общее уравнение (1) не имеет кратных корней.

Рассмотрим теперь группу Галуа 0(Q, Р) поля Q над полем Р. т. е. группу Галуа уравнения (1). (Заметим, что поле Q конечно над полем Р (ибо оно является полем разг ложения некоторого многочлена) и бесконечно над полем Р (ибо оно содержит элементы а-.....а„, не удовлетворяющие никакому уравнению); поэтому говорить о группе Галуа ПОЛЯ Q над подем Р нельзя.)

Так как уравнение (1) не имеет кратных корней, то можно группу Галуа О{Q, Р) рассматривать как группу подстановок (см. гл. 3, п. 1). Более точно: существует естественное мономорфное отображение группы Галуа О (Q, Р) в симметрическую группу S„. Подстановка

/1 2 ... п

соответствующая при этом мономорфизме автоморфизму 5 £ О (Q, Р), определяется из соотношений

Следовательно, если подстановка а соответствует автоморфизму S, то для любого элемента

/(Л.....tn) ...

g(U.....h)

поля Q имеет место равенство

/ /(<.....t„)\ fait,.....t„)

\g{t......t„)) - gait,.....t„)-

Докажем теперь, что рассматриваемый мономорфизм одновременно является и эпиморфизмом (а значит, и изоморфизмом), т. е. что любая подстановка а получается из некоторого автоморфизма 5 £ О (Q, Р).

С этой целью любой подстановке с 5„ отнесем некоторое преобразование S поля Q, определив его формулой (3). Так как любой элемент поля Q единственным образом записывается . в. виде (2), то формула (3) действительно опреде-ляет некоторое однозначное преобразование поля Q. Легко видеть, что преобразование 6 взаимно однозначно (именно обратное преобразование тем же способом строится с помощью подстановки а~) и сохраняет операции сложения и умножения, т. е. является автоморфизмом поля S. Наконец, если элемент (2) принадлежит полю Р, т. е. выра-жается через а,.....а„, то многочлены f » g являются симметрическими многочленами, и потому f -f, g = g, т. е. автоморфизм 5 оставляет элемент (2) на месте. Таким образом, 5 является автоморфизмом поля Q над полем Р, т. е, 5 0(Q, Р). Остается заметить, что соответствующая автоморфизму 5 подстановка соэпадает,.очевидно, с подстановкой а.