7. ТЕОРЕМА о СОСТАВНОМ АЛГЕБРАИЧЕСКОМ РАСШИРЕНИИ 21

Таким образом, все три термина «конечное», «составное алгебраическое» и «алгебраически порожденное» означают (в применении к расширениям) одно и то же.

Закончим этот пункт некоторыми замечаниями, касающимися подполей конечных расширений.

Пусть К - произвольное конечное расширение поля Р, и пусть L - его подполе, содержащее поле Р;

PcLcK.

Очевидно, что L конечно над Р (ибо не может содержать бесконечной линейно независимой над полем Р системы элементов), а К конечно над L (ибо любая линейная комбинация над Р автоматически является линейной комбинацией над L). Следовательно, мы находимся в условиях применимости доказанной в начале этого пункта теоремы. Поэтому.

[К:Р] = [К:Ц [L:P].

Таким образом,

любое подполе L {содержащее поле Р) конечного расширения К поля Р является конечным расширением, а его степень \L:P] - делителем степени \К: Р] поля К.

К Р]

"тЧ-ш равно степени [К: L]

L:P]

Соответствующее частное -

поля К над полем L.

Так как простое алгебраическое расширение Р (а), порожденное некоторым элементом а конечного расширения К, лежит в К, i его степень равна степени числа а, то

степень (над Р) любого элемента конечного расширения К ПОЛА Р делит степень [К: Р] поля К над полем Р.

Это - уточнение доказанного в п. 4 неравенства.

Задача. Доказать, что конечное расширение степени п тогда и только тогда является простым алгебраическим расширением, когда в нем существует элемент, имеющий степень п.

7. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым

В этом пункте мы докажем следующую теорему.

Любое составное алгебраическое расширение К = г= P(ai) = (aj).. .(а) является простым, т. е. существует такое число 9, что

К=Р{Ь).

fl-ту

где /=1, 2.....п, а У = 2.....m (таким образом, ]ф\).

Число этих элементов равно п{т-1) и, следовательно, конечно. Поэтому в поле Р (даже в поле R рациональных чисел) можно найти число с, не равное ни одному из чисел (3), Положим

e = ai + ca2 (т. е. 6 = р,-f-c-yi).

Так как число с не равно ни одному из чисел (3), то

9=Р/Н-Пу (4)

ни для каких /=1, 2, .... л и У = 2.....т.

Число 9 принадлежит полю К и, следовательно, алгеб-раично. Порожденное им простое алгебраическое расширение Р(9) содержится в К:

Р{В)сК. (5)

Рассмотрим многочлен

gi{x) = f,{b - cx).

Это - многочлен над полем Р (9), имеющий общий корень а. с многочленом /2 (л:) (который также можно считать многочленом над полем Р{Ь)). Из соотношения (4) вытекает, что никаких других общих корней многочлены giix) и fix) не имеют (ибо если g {-j) = О, то число 9 - cj будет корнем многочлена /1 (х), т. е. 9 - c-\j = для некоторого /, что по построению возможно только для - Следова-

Рассмотрим сначала случай 5 = 2, когда К = Р{ч-{ч. Пусть и /2 (л) - минимальные многочлены (над Р)

чисел aj и aj соответственно (как мы знаем, эти числа алгебраичны над Р) и пусть

Pi = «i. h.....О)

- корни многочлена /i(a;) и

Tl = *2. Т2.....Tm (2)

- корни многочлена /2(л;). Так как многочлены fi{x) и /2 (л;) неприводимы, то среди корней (1), так же как и среди корней (2), нет одинаковых.

Рассмотрим элементы

н н

8. ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 23

тельно, наибольшим общим делителем этих многочленов является двучлен х - о. Но, как известно (см. Курс, стр. 289), наибольший общий делитель двух многочленов над некоторым полем (в нашем случае над полем Р(9)) также является многочленом над этим же полем. Поэтому

и, следовательно,

ai=9 -са2$Я(9).

В силу минимальности расширения Р(а,, aj) отсюда вытекает, что

P(ai, а2)сР(9).

Сопоставляя это включение с включением (5) и учитывая, что Р(а-1, Oj) = Р (а,) (aj), мы получим

Р(а,)(а2) = Р(е).

Таким образом, для s = 2 теорема доказана.

Случай любого 5 сводится к случаю 5 = 2 тривиальным применением метода полной индукции.

Доказанная теорема означает, что к приведенному в предыдущем пункте перечню равносильных свойств расширений мы можем добавить следующее свойство:

г) поле К является простым алгебраическим расширением поля Р.

Другими словами,

конечные (т. е. составные алгебраические, т. е. алгебраически порожденные) расширения исчерпываются простыми алгебраическими расширениями.

8. Поле алгебраических чисел

В предыдущих пунктах доказано, что классы расширений типов Г, 2°, 3° и 4° совпадают. Остается выяснить связи этих расширений с расширениями типа 5° (т. е. с алгебраическими расширениями). Как показано в п. 4, любое конечное расширение алгебраично. Мы сейчас покажем, что обратное неверно, т. е. что класс алгебраических расширений, вообще говоря, существенно шире класса конечных расширений. В дальнейшем этот результат не используется;