(третью резольвенту мы не пишем, так как она равна нулю). Этот результат также согласуется с общей теорией.

Согласно общей теории, третья степень резольвенты (р, j) должна принадлежать полю L. Но

(р. kf = t\jtl + tl + {t\t2 -f tlh + 31) Ч-

+ 3p -f- htl + 3?) Ч- 61/23 =

t\tl+tl-\(t\h + t\h Ч- 31 Ч- 12+23+3?) -f-

4- + it\h 4- 3 + 31 - ht\ - - 3?).

Выражая симметрические многочлены через элементарные (и учитывая, что -(-2-+-3 = 0. t\t2 + t\h~\-hh = Р hJi - - Ч)- мы получим

t\h + 2/3 + tbi + titl + htl H- 31 = 3.

W3 = -9-Далее, легко видеть, что

i\h + 23 + tlh - ht\ - htl - ht\ = 9,

0 = (/,-2)(1-з)(2-з)-

Таким образом,

(p.,)3 = 9 + ilp9. (4)

Мы видим, что действительно (р, t{fL, ибо 9 = 9, и потому 9 g L.

Аналогично вычисляется, что

(pUi)=-f 9-9. (5)

Найдем теперь 9. Любая транспозиция переводит 9 в ~9, а любая четная подстановка оставляет 9 на месте. Поэтому с 9 сопряжено только число -9 и, следовательно, бС. Действительно, простое вычисление показывает, что

б2 = -4рЗ -272. (6)

5 Зм. 16й. М. М. Постннкм

Сопоставляя формулы (3), (4), (5) и (6), находим окончательно следующую формулу решения кубического уравнения:

т. е. известную формулу Кардано.

Уравнения четвертой степени рассматриваются аналогично. Проведение соответствующих рассуждений предоставляется читателю.

III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГАЛУА

ГЛАВА 1

ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГАЛУА УРАВНЕНИЙ

1. Задание групп подстановок степени « многочленами от « неизвестных

Пусть g(Xi.....х„) - произвольный многочлен (с коэффициентами из основного поля Р) от л переменных Xi.....х, и пусть

/1 2 ... я

- произвольная подстановка степени я. Воздействуя на неизвестные Ху..., х„ подстановкой а, мы получим из многочлена g{Xi.....дг„) многочлен

ga(Xl.....X„) = g{Xi.....ДГ,„)

(см. ч. I, гл. 3, п. I). Мы будем говорить, что многочлен g{Xi.....4С„) принадлежит, подстановке а, если многочлен ga(Xi, .. .-, х) совпадает с многочленом giXy .... х„).

Любой многочлен принадлежит тождественной подстановке е. Многочлен, принадлежащий всем подстановкам степени я, является симметрическим многочленом.

Пусть теперь О - произвольная группа подстановок степени я. Мы будем говорить, что многочлен (дг,.....х„)

принадлежит группе О, если он принадлежит (в смысле предыдущего определения) любой подстановке из группы О.

Ясно, что, если многочлен (дг,..... х„) принадлежит

группе О, то он принадлежит и любой подгруппе Я этой группы. Мы будем говорить, что многочлен gix, ...,х„) точно принадлежим группе О, если он не принадлежит никакой большей группе.