изоморфную группе О (изоморфизм осуществляется соответствием b->a~ba). Эта группа называется группой подстановок, сопряженной группе О (посредством подстановки а).

Очевидно, что множество всех групп подстановок сте-пени п распадается на непересекающиеся классы, обладающие тем свойством, что две группы тогда и только тогда принадлежат одному классу, когда они сопряжены. Эти классы называются классами сопряженных групп. Класс, содержащий группу О, мы будем обозначать символом [О].

Легко видеть, что

если многочлен g(Xj.....х„) точно принадлежит

группе О, то многочлен ggix.....х„). где aS„, точно

принадлежит сопряжённой группе а~Оа.

Действительно, равенство {ga)b = ga> т. е. равенство Sab - Sa имеет место тогда и только тогда, когда ада~0, т. е. когда Ьа~Оа.

Отсюда вытекает, что все группы класса [О] задаются многочленами

g = ga,. ga......ga. (1)

«1 = «. «2.....«m

-произвольная полная система представителей смежных классов группы S„ по ее подгруппе О. (Заметим, что разные многочлены из системы (I) вполне могут принадлежать одной и той же группе класса [О].)

Вместо многочленов (1) для задания групп класса [О] можно воспользоваться одним многочленом О (г) над полем

P{Xi.....xj от некоторого нового неизвестного г, а именно

многочленом

О (Z) = (г- ga) (г - ga,) ...(г- gaj.

Мы будем называть многочлен О (г) определяющим многочленом класса [О].

Подчеркнем, что он зависит от выбора многочлена

g(Xi.....х„).

Легко видеть, что

все коэффициенты определяющего многочлена О (г) являются симметрическими многочленами от неазвест-

НЫХ Xj, • • • t п*

Задача. Докажите это утверждение.

3. Вычисление группы Галуа произвольного многочлена

Пусть

/ (дг) = аодг" + aix"- - ... + а„

- произвольный многочлен над полем Р без кратных корней. Раз и навсегда занумеровав его корни

«1.....«л

в некотором определенном порядке, будем рассматривать его группу Галуа как группу подстановок степени п.

Пусть теперь О - произвольная группа подстановок степени я и пусть О (z) - определяющий многочлен класса [О]. Подставив в коэффициенты многочлена G (z) вместо неизвестных дг,...... дг„ числа а,.....а„, мы получим некоторый многочлен g(z) уже с числовыми коэффициентами. Поскольку коэффициенты многочлена О (z) являются симметрическими многочленами от неизвестных .....х„, все

коэффициенты многочлена g(z) принадлежат полю Р.

Легко видеть, что

если группа Галуа многочлена f{x) содержится в группе О, то хотя бы один корень многочлена g{z) принадлежит полю Р.

Действительно, корнями многочлена g{z) являются элементы

Pl=ga.(«l.....aJ. P2=ga.(ai.....«л).....nr=gajx.....«„)

поля K = P(a.i.....а„), где g(Xx.....дг„) - точно принадлежащий группе О многочлен от неизвестных дг,.....х„,

по которому был построен определяющий многочлен О (z), а а, = е, .....а - полная система представителей смежных классов группы S„ по ее подгруппе О. Если группа Галуа многочлена /(дг) содержится в группе О, то любая ее подстановка а не меняет многочлена g, т. е. g = g. Пусть 5-автоморфизм поля К над полем Р, которому соответствует подстановка а. Тогда

Pf = g(ai.....a/ = ga(«i.....n)g(i.....

Поскольку S представляет собой произвольный автоморфизм поля К над полем Р, отсюда вытекает (см. ч. I, гл. 3, п. 4), что элемент принадлежит основному полю Р.

обратное утверждение справедливо в следующей форме;

если многочлен g {г) не имеет кратных корней и хотя бы один его корень принадлежит полю Р, то группа Галуа многочлена f(x) содержатся в некоторой группе, сопряженной группе О.

Действительно, пусть а - произвольная подстановка группы Галуа многочлена f (х), и пусть 5 - соответствующий автоморфизм поля К = Р (а,.....а„) над полем Р.

По условию, хотя бы один корень многочлена g(z) содержится в поле Р. Пусть это будет корень = g(ai.....а„).

Так как (Р, то С другой стороны,

Pf =g-<i,a(ai.....a„) = «ay(ai.....<n) = h

где ttj - представитель смежного класса, содержащего подстановку afi (таким образом, aia=:baj, где ЬО). Поскольку многочлен g(z) не имеет по условию кратных корней, отсюда следует, что Р( = Р;, т. е. что l = J. Таким образом, a[a = bai, где ЬО, т. е. aaiOai. Так как это верно для любой подстановки а группы Галуа, то и вся группа Галуа многочлена f{x) содержится в группе aiOai-Теорема доказана.

Доказанные теоремы дают удобный практический способ определения класса сопряженных групп, которому принадлежит группа Галуа любого многочлена, т. е. вычисления этой группы «с точностью до изоморфизма». Правда, для его проведения требуется уметь определять, имеет ли данное уравнение над полем Р хотя бы один корень, содерЖащийся в этом поле, что для случая произвольного поля представляет собой сложную задачу, не имеющую пока общего решения. Однако на практике основным полем Р является, как правило, поле R рациональных чисел, для которого эта задача имеет простое и эффективное решение (см. Курс, стр. 355-358).

Другое затруднение связано с тем, что многочлен g{z) может иметь кратные корни, и потому доказанный выше критерий будет неприменим. На практике в этом случае целесообразнее всего произвести дополнительное исследование, пользуясь теми или иными частными соображениями. Однако с теоретической точки зрения это затруднение преО долевается легко. Именно, оказыэается, что