для любой группы О и любого многочлена /(дг) над полем Р без кратных корней всегда существует такой

многочлен g (дг,.....дг„), точно принадлежащий группе О,

что соответствующий многочлен g{z) не имеет кратных корней.

Для доказательства этого утверждения, очевидно, доста-точно доказать, что

существует такой многочлен g(Xi, д;„), точно принадлежащий группе О, что для любых подстановок а

и b степени п равенство ga{>-i.....°п) = Sbii.....°п)<

где а,.....а„ - корни многочлена f(x), имеет место

тогда t> только тогда, когда многочлены gaiXi.....х„)

а gbixi.....дг„) совпадают, т. е. когда аЬО.

С этой целью мы докажем следующее вспомогательное предложение:

в поле Р существуют такие числа Cj, с„, что для любого k=U 2.....я многочлен

А**(л;,.....дг„)==с,;:, +C2J:2+...+CjXj

обладает следующим свойством:

если подстановки а и b степени п по-разному перемещают хотя бы одно из чисел 1,2.....k, то

ЛаЧа,.....а„)Л<б*>(а,.....а„).

Доказательство мы проведем индукцией по числу k. Для k=\ предложение очевидно (поскольку все корни aj, а„ различны, за с, можно взять любое отличное от нуля число поля Р). Пусть это предложение уже доказано

для k-I, т. е. пусть найден многочлен A*~"(Xi.....дг„),

обладающий требуемым свойством. Поскольку поле Р содержит бесконечно много элементов (например, все рациональные числа), в нем найдется число с,,, отличное от всех чисел вида

где а и b - произвольные подстановки степени я, перемещающие число k в различные числа и j. Очевидно, что многочлен

*С-1.....V=A**""ct.....V +

обладает всеми требуемыми свойствами. Предложение доказано.

Рассмотрим, в частности, многочлен hixi.....x„) = h"\xi.....а:„)=С1ДГ,--С2д:2-Ь • • +

По доказанному он обладает следующим свойством; если подстановки а и b степени п различны, то

.....«я) .....«я)-

Положим этот многочлен в основу определения нужного нам многочлена g(Xi, х„) (см. п. 1), т. е. рассмотрим многочлен

<fit, Xi.....дг„) = (-Аб,)(-Лб,) ... (f-Лбр.

где bi = e, b..... b - все подстановки группы О, Легко

видеть, что

для любых двух подстановок а и b степени п многочлены срд(Л ATi.....дг„) и cpj(, x-i.....х„) {рассматриваемые как многочлены над полем P{t)) тогда и только тогда совпадают, когда совпадают многочлены

«Ра(-«1.....«я) и ?(.(. «1.....«я) от t над полем

K = P{ai.....а„).

Действительно, если срд(Л дг,.....дг„) = ср(, дг,.....х„).

то срд( aj..... а„) = ср(,(Л а,.....а„). Обратно, пусть

9„(ai..... a„) = cpj( ttj.....а„). Корнями многочлена

Фа (Л а,.....а„) являются числа hba{a.i.....a„).....fitaii.....«я)-

а корнями многочлена ср {t, а,.....а„)- числа Ньь («1.....«я)- •••

.... hb ь(р-1..... "-г)- Поскольку у равных многочленов

корни могут отличаться только порядком следования, среди

чисел кьь(р-\..... «я).....Абб(а1..... а„) содержится,

скажем, число „(а,.....a„) = Aba(aj.....а„). Другими

словами, в группе О существует такой элемент что

Aa(ai.....a„) = A6j6(ai..... «я)- Следовательно, а = Ьр,

т. е. а6-10, и потому срд( aTj.....дг„) = 9>(Л Xi.....дг„)

(ибо многочлен 9 (Л х..... >:„) принадлежит группе О;

см. п. 1).

Пусть теперь

9а,( «1.....«я)- 9«j( «1.....°я).....aif «1.....а„)

Х(х„ - х„ {)

(так называемый определитель Вандермонда для неизвестных Xi.....х„; см. Курс. стр. 50).

Действительно, под воздействием четных подстановок этот многоцлен, очевидно, не меняется, а под воздействием нечетных меняет знак.

Соответствующий определяющий многочлен 0{г) класса [А„] (заметим кстати, что этот класс содержит только группу А) имеет, следовательно, вид

z-Dixi.....х„),

где D{xi.....д:„) = Д2(л:1.....л:„).

- такие попарно различные многочлены вида «РдС. а,, .... а„), что любой многочлен этого вида равен одному из них. Поскольку поле Р бесконечно, в нем существует такой элемент t, что все числа

Те, (0. «1.....«л). 9а, (0. Ч.....«л).....(о. «1.....«л)

попарно различны. Пусть

gixi.....;с„) = ср(о. хх.....х„).

Ясно, что многочлен gix.....х обладает всеми требуемыми свойствами.

4. Пример: уравнения, группы Галуа которых содержатся в знакопеременной группе

Применим изложенный выше общий метод к разысканию уравнений без кратных корней, группа Галуа которых содержится в знакопеременной группе Л„. Для этого, в первую очередь, следует отыскать многочлен gix.....л:„),

точно принадлежащий группе А„. Простейший такой многочлен описывается в следующей теореме.

Знакопеременной группе А„ точно принадлежит многочлен

Д (Xl.....Х„) = (Х2- лг,) (ЛГз - ATi) . . . (Х„ - Х) X

X {Хз - х)... {х„ - лгг) X