ГЛАВА 2 УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ

1. Транзитивные группы подстановок

Начнем с доказательства следующей общей теоремы:

Порядок транзитивной группы подстановок степени п делится на п.

Действительно, пусть О - произвольная транзитивная группа подстановок степени п. Разобьем группу О на непересекающиеся класдл, относя в один класс все подстановки, одинаково воздействующие нд число 1. В силу транзитивности группы число этих классов равно п. Пусть Н - класс, состоящий из подстановок группы О, оставляющих на месте число 1. Очевидно, что этот класс является подгруппой группы О. Две подстановки g. gQ тогда и только тогда принадлежат одному классу, когда gig2~ 6 Я» т. е. когда подстановки g, g принадлежат одному смежному классу группы О по подгруппе Н. Другими словами, рассматриваемые классы совпадают со смежными классами по подгруппе-Я. Следовательно, индекс подгруппы Я равен п. Поскольку группа О обладает подгруппой индекса п, ее порядок делится на п. Теорема доказана.

Простейшими транзитивными группами являются циклические группы. Очевидно, что

циклическая группа подстановок степени п тогда, и только тогда транзитивна, когда ее образующей служит цикл длины п.

В частности, порядок такой группы равен п>

Легко видеть, что

число всех циклов длины п равно (п-1)1.

Действительно, любой цикл длины п единственным образом записывается в виде (I ll .. . 1„), где • • • 1„ ~-некоторая перестановка чисел 2, 3 ,,. /f,

Поскольку циклическая группа порядка п содержит ср(й) образующих (см. стр. 63), отсюда вытекает, что

кисло всех циклических транзитивных групп nod-in-1)1

становок степени п равно --t-v-•

9 (л)

В частности, при л = 5 это число равно шести.

2. Транзитивные группы простой степени

Ясно, что группа подстановок, содержащая цикл дтаны л, транзитивна. Оказывается, что если число л является простым числом р, то верно и обратное, т. е.

любая транзитивная группа подстановок простой степени р содержит цикл длины р.

Действительно, пусть О - произвольная транзитивная группа подстановок степени р. Разобьем множество всех циклов длины р, не принадлежащих группе О, на классы, относя циклы а п а к одному классу, если в группе О существует такой элемент Ь, что а2 = Ь~аф. Класс, содержащий цикл а, мы будем обозначать символом С„. Легко видеть, что для любых двух циклов aj и а длины р, не принадлежащих группе О, соответствующие классы Се, и Со, либо совпадают, либо не пересекаются.

Задача. Докажите последнее утверждение.

Пусть теперь а = (/i .. • Ip) - произвольный цикл длины р, не принадлежащий группе О, и пусть b - произвольный элемент группы О. Ясно, что если

b-ab = Uxh-- Jp)> т. е. подстановка bab также является циклом длины р. Кроме того, поскольку b(b~ab)b~ = а, цикл bab не принадлежит группе О. Следовательно, формула

ср ф) = b~ab

определяет некоторое отображение ср группы О на класс С„. Оказывается, что это отображение взаимно однозначно, т. е. из равенства ср (Z>j) = ср (ft) следует равенство *j = ftj.

Действительно, если (р = ср (2). т. е. Z>raZ>j = гаг. то {bib2)~ a{bibi) = a, т. е. b~ab = a, где * = *i*2". Таким образом, если подстановка b имеет вид (1), то a = {JiJ2 ... Ур), откуда немедленно следует (почему?), что Ь = а, где k - такое число, что J\ = iit+\- Если & > О, то существуют такие числа и и v, что ftM + jw=l (число Л взаимно просто с р, потому что оно меньще р). Тогда а = а*"+Р = = a*" = Z>" и, следовательно, вопреки предположению, аО. Поэтому k = 0, т. е. Ь = е и bb.

Таким образом, все классы С„ состоят из одного и того же числа элементов, равного порядку группы О. Поэтому число всех циклов длины р, не принадлежащих группе О, делится на порядок группы О и, следовательно (см. п. 1) делится на число р. С другой стороны, согласно доказанному в предыдущем пункте, число всех циклов длины р равно {р- 1) I и поэтому на р не делится. Следовательно, группа О непременно содержит циклы длины р. Теорема доказана.

Каждый цикл длины р, содержащийся в группе О, определяет циклическую подгруппу, состоящую из /? - 1 циклов длины р (и тождественной подстановки). Поскольку эти циклические подгруппы пересекаются только по тождественной подстановке (почему?), общее число циклов, содержащихся в группе О, равно {р-\)х, где л; - число циклических подгрупп порядка р группы О. Следовательно, обозначая через ру число циклов длины р, не принадлежащих группе О, мы получаем уравнение

{р~\)х-\-ру = {р\)1

Из этого уравнения вытекает, что

х = {р - 2)\ - рг, (2)

где Z - произвольное неотрицательное число, меньшее чем Р

3. Транзитивные группы пятой степени

При jt? = 5 число г в формуле (2) предыдущего пункта может принимать лишь значения О и 1. В соответствии С ЭТИМ мы получаем, чтр л: = 1 или 6» Т. е,