транзитивная группа пятой степени содержит либо только одну циклическую группу пятого порядка либо все шесть таких групп.

Если транзитивная группа О подстановок пятой степени содержит все шесть циклических групп пятого порядка, то ввиду тождеств

{lj){kl) = {ikjml){lkjlm), {lj)ilk) = {lkmlj){lkjlm)

группа О содержит произведения любых двух транспозиций и потому содержит любую четную подстановку. Следовательно, в этом случае группа О является либо знакопеременной группой Лд, либо симметрической группой Sc,.

Пусть теперь группа О содержит только одну циклическую группу пятого порядка, и пусть s - образующая этой группы. Для определенности мы будем считать, что

s = (1 2345).

Любой другой вид цикла s сводится к этому посредством соответствующей перенумеровки переставляемых символов 1. 2, 3, 4. 5.

Циклическую группу с образующей s = (l 2 34 6) мы будем обозначать символом Cg. Ее порядок равен пяти.

Рассмотрим теперь наряду с циклом s еще подстановку

г = (2 5)(3 4).

Легко видеть, что

г = е, rs = s*r.

Поэтому подстановки

е, S, s. s, s*,

г, sr, sh, sV, s*r

образуют группу. Эта группа называется полуметацикли-ческой группой. Мы будем обозначать ее символом В. Ее порядок равен десяти. Она содержит циклическую группу Cg в качестве нормального делителя (докажите!), причем факторгруппа S5/C5 является группой второго порядка и поэтому циклична. Следовательно, группа В разрешима. Рассмотрим далее подстановку

/ = (23 54).

* \1 /2 3 и hJ Тогда

b~sb{\l2Wb)-

Легко видеть, что

Поэтому подстановки

е, S, s\ s,

t, St, s4, s4, s4,

fi, st\ st, sH, sH.

fi, st s4, s4

образуют группу, Эта группа называется метациклической группой. Мы будем обозначать ее символом S5. Ее порядок равен двадцати. Поскольку, как легко видеть, f~r, группа Ss содержит полуметациклическую группу Sg в качестве нормального делителя индекса 2. Поэтому

группа В5 разрешима. Заметим кстати, что

Задача. Докажите, что группа В изоморфна группе /Ид (см. ч. II, гл. 1, п. 5). Оказывается, что

группами С, В, В исчерпываются (при выбранной нумерации переставляемых символов) все транзитивные группы подстановок пятой степени, содержащие только одну циклическую группу пятого порядка.

Действительно, пусть а- произвольная подстановка транзитивной группы О, содержащей только одну циклическую группу пятого порядка (а именно: при выбранной нумерации переставляемых символов группу Сд). Если эта подстановка переводит число I в число k, то подстановка b = оставляет число 1 на месте. Пусть

1 2 3 4 5\

Так как любой цикл длины 5, содержащийся в группе О, является по условию степенью цикла s, то отсюда следует, что

bsbs", k=l, 2, 3. 4.

Поскольку

S =(1 2 34 5). s3 = (l 4 25 3), s2 = (1 3524\ s> = (1 543 2),

отсюда вытекает, что подстановка b совпадает с одной из следующих четырех подстановок:

/1 2 34 54 /1 234 54 з Л 2 34 5\ /1 2345\ 2 34 б/У! 3 52 4У~\,1 4 2 53/""Vl 54 32/

(ибо запись цикла в виде (И2з45) однозначна), и поэтому принадлежит группе В5. Следовательно, группе Bs принадлежит и подстановка а. Тем самым доказано, что группа О содержится в группе В. Для завершения доказательства остается заметить, что единственными подгруппами группы i3g, содержащими группу.Cg, являются группы Cg, s5 а By Теорема доказана.

4. Вычисление группы Галуа неприводимого уравнения пятой степени

Пусть f(x) - произвольный неприводимый (над основным полем Р) многочлен пятой степени. Поскольку группа Галуа неприводимого многочлена транзитивна, эта группа должна совпадать (при соответствующей нумерации корней многочлена) с одной из пяти групп Сд, Sg, Bg, и 5д, перечисленных в предыдущем пункте. Согласно сказанному в предыдущей главе, для того чтобы определить эту группу, следует для каждой из групп Сд, В, В и А рассмотреть некоторый точно принадлежащий этой группе многочлен g(Xi, .... лгд), составить по этому многочлену многочлен О (г) над полем P(Xi.....лгд), подставить в коэффициенты многочлена О (г) вместо неизвестных х.....лгд корни многочлена

/ (л;), выразить эти коэффициенты через коэффициенты многочлена fix) и определить, имеет ли полученный многочлен g (г) хотя бы один корень в поле Р. Если такой корень